×   HOME
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika1
Derivacije i primjene    


Nizovi i redovi

1.
[*] Što je niz? [*] Kada je niz padajući, a kada strogo padajući? Kada je niz monoton?
2.
[*] Kako definiramo limes niza? Riješite osnovnu nejednadžbu konvergencije za neki konkretan niz. [*]
3.
Dokažite da je limes niza jedinstven. [*]
4.
[*] Što je gomilište? Što je $ \lim\sup a_n $ , a što $ \lim\inf a_n $ ?
5.
[*] Što je podniz? Kako još možemo definirati gomilište (pomoću podniza)?
6.
Konvergentan niz je omeđen. Dokaz. [*]
7.
Svaki niz ima monoton podniz. Dokaz. [*]
8.
Monoton i omeđen niz je konvergentan. Dokaz. [*]
9.
[*] Dokažite da je niz

$\displaystyle e\equiv \lim_{n\to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{1}{n}\right)^n$    

konvergentan (rastući i omeđen odozgo).
10.
[*] Kako možemo odrediti

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \displaystyle \frac{\sin n}{n} ?$    

11.
Navedite dovoljan uvjet konvergencije niza (niz konvergira ako i samo ako je Cauchyjev). [*]
12.
[*] Dokažite

$\displaystyle \root n \of a \to 1, \qquad \root n \of n \to 1 .$    

13.
[*] Što je red brojeva? [*] Kako definiramo sumu reda (limes niza parcijalnih suma)?
14.
[*] Što je geometrijski red? [*] Objasnite Zenonov paradoks.
15.
[*] Dokažite nuždan uvjet konvergencije reda ($ a_n \to 0$ ).
16.
[*] [*] Opišite konvergenciju reda

$\displaystyle \sum \displaystyle \frac{1}{n^p}$    

u ovisnosti o parametru $ p$ .
17.
Dokažite da harmonijski red

$\displaystyle \sum \displaystyle \frac{1}{n}$    

divergira. [*]
18.
[*] Opišite konvergenciju reda

$\displaystyle \sum \displaystyle \frac{(n+1)^{\alpha}}{(n!)^{\beta}}$    

u ovisnosti o parametrima $ \alpha$ i $ \beta$ .
19.
Opišite kriterije konvergencije za redove s pozitivnim članovima - poredbeni, D'Alembertov, Cauchyjev, Raabeov. [*]
20.
[*] Što je apsolutna konvergencija? [*] Povlači li apsolutna konvergencija nekog reda i konvergenciju tog reda?
21.
Kako glasi Leibnitzov kriterij konvergencije i za kakve ga redove koristimo? [*]
22.
[*] Što je niz funkcija? Navedite primjer. [*]
23.
[*] Kako definiramo konvergenciju po točkama (običnu konvergenciju) niza funkcija? Navedite primjere.
24.
[*] Kako definiramo uniformnu konvergenciju niza funkcija? Povlači li uniformna konvergencija običnu konvergenciju? Navedite primjer.
25.
[*] Što je red funkcija? Navedite primjer.
26.
[*] Kako definiramo konvergenciju po točkama (običnu konvergenciju) reda funkcija? (Ili kao konvergenciju redova brojeva koji se dobiju kada uvrštavamo točke iz domene ili kao običnu konvergenciju pripadnog niza parcijalnih suma funkcija.) Navedite primjere. [*]
27.
[*] Definirajte uniformnu i apsolutnu konvergenciju reda funkcija. Kako glasi Weierstraov kriterij konvergencije? [*]
28.
[*] Kako se nalazi područje konvergencije reda funkcija? Dajte primjer.
29.
[*] Što je red potencija i njegov radijus konvergencije?
30.
Ispitajte konvergenciju reda [*]

$\displaystyle \sum \displaystyle \frac{1}{n}x^n. $

Uputa: prvo se nađe područje apsolutne konvergencije pomoću kriterija za konvergenciju redova s pozitivnim članovima, a potom se posebno ispitaju rubovi područja apsolutne konvergencije.
31.
[*] Kada možemo derivirati red funkcija? Kako deriviramo red potencija? Navedite nakoliko primjera. [*]
32.
[*] Kako glasi Taylorova formula i čemu služi? Što je ostatak?
33.
[*] [*] [*] S kojom točnošću Taylorov (ili Maclaurinov) red aproksimira zadanu funkciju u nekoj točki?
34.
[*] Koje vrijednosti funkcije $ \ln x$ možemo izračunati pomoću Maclaurinovog reda funkcije

$\displaystyle \ln \displaystyle \frac{1+x}{1-x} ?$    

35.
Kako glase Maclaurinovi redovi za funkcije [*] $ e^x$ , [*] $ \sin x$ , [*] $ \cos x$ , [*] $ \ln(1+x)$ , [*] $ \ln((1+x)/(1-x))$ ? Izvedite te redove i njihovo područje konvergencije.

Derivacije i primjene