×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Ispitivanje konvergencije     Red funkcija     Deriviranje reda funkcija

Red potencija

Red potencija je poseban red funkcija $\sum_{n=0}^{\infty}f_n$ za koji je $f_n(x)=a_n(x-x_0)^n$ , odnosno

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$$ (6.6)

ili

$$% a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots +a_n(x-x_0)^n+\cdots.$$

Radijus konvergencije reda potencija je broj

$$% \rho=\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{\vert a_n\vert}} \quad \textrm{ili} \quad \rho=\frac{1}{\limsup \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert}.$$

Područje konvergencije reda potencija daje nam sljedeći teorem kojeg ćemo dokazati u Matematici 3.

Teorem 6.16   Red potencija (6.6) konvergira uniformno i apsolutno na svakom segmentu $[x_0-\rho',x_0+\rho']$ , gdje je $\rho'<\rho$ , a divergira na skupu $\mathbb{R}\setminus [x_0-\rho,x_0+\rho]$ .

Na primjer, ako je $\rho=0$ , tada red potencija konvergira samo u točki $x=x_0$ (trivijalno), a ako je $\rho=+\infty$ , tada red potencija konvergira za $\forall x\in\mathbb{R}$ . Konvergenciju u točkama $x=x_0-\rho$ i $x=x_0+\rho$ treba ispitati posebno.

Primjer 6.16   Zadan je red potencija

$$% \sum \frac{1}{n}x^n.$$

Ovdje je očito $x_0=0$ . Kako je (vidi zadatak 6.2)

$$% \limsup \sqrt[n]{\vert a_n\vert}=\limsup \sqrt[n]{\frac{1}{n}}=1,$$

to je $\rho=1$ pa red konvergira uniformno i apsolutno na intervalu $(-1,1)$ . U točki $x=1$ red glasi $\sum \frac{1}{n}$ pa divergira (vidi primjer 6.10). U točki $x=-1$ red glasi $\sum(-1)^n\frac{1}{n}$ (alternirani harmonijski red, poglavlje 6.2.4) pa konvergira po Leibnitzovom kriteriju. Dakle, zadani red konvergira za $x\in[-1,1)$ , a divergira inače.

Primjer 6.17   Zadan je red potencija

$$% \sum \frac{1}{n^2}x^n.$$

Ovdje je također $x_0=0$ . Kako je $\rho=1$ , red konvergira uniformno i apsolutno na intervalu $(-1,1)$ . U točki $x=1$ red glasi $\sum\frac{1}{n^2}$ pa konvergira (vidi poglavlje 6.2.2), a u točki $x=-1$ red glasi $\sum(-1)^n\frac{1}{n^2}$ pa konvergira jer konvergira apsolutno (teorem 6.11). Dakle, zadani red konvergira apsolutno za $x\in[-1,1]$ , a divergira inače.

Zadatak 6.4   Nađite područje apsolutne konvergencije reda

$$% \sum \frac{n^n}{n!} x^n.$$

Ispitivanje konvergencije u rubovima intervala je složenije pa ga izostavite.

Ispitivanje konvergencije     Red funkcija     Deriviranje reda funkcija