×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Red potencija     Red funkcija     Taylorov red


Deriviranje reda funkcija

Kada funkcija $ s(x)=\sum f_n(x)$ nije elementarna, ili nema prikladan analitički izraz, njenu derivaciju možemo računati derivirajući pripadni red funkcija.

Naime, ako su sve derivacije $ f'_n(x)$ neprekidne i ako red $ \sum f'_n(x)$ konvergira, tada vrijedi

$\displaystyle %
\left(\sum f_n(x)\right)' = \sum f'_n(x).
$

Posebno za red potencija vrijedi

$\displaystyle %
\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n \right)' =
\sum_{n=1}^{\infty} na_n(x-x_0)^{n-1} =
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1}(x-x_0)^n
$

u svim točkama u kojima red $ \sum a_n(x-x_0)^n$ konvergira.

Prethodne tvrdnje nećemo dokazivati, već navodimo sljedeći zanimljiv primjer.

Primjer 6.18   Izračunajmo sumu reda potencija

$\displaystyle %
\sum n x^{n-1} = 1+2x+3x^2+4x^3 +\cdots + nx^{n-1}+\cdots
$

za $ \vert x\vert<1$ . Za geometrijski red vrijedi

$\displaystyle %
\sum_{n=0}^{\infty} x^n =\frac{1}{1-x}, \quad \vert x\vert<1.
$

Osim toga

$\displaystyle %
\sum_{n=0}^{\infty} (x^n)'= \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1}=
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}.
$

Ovaj red potencija također konvergira za $ \vert x\vert<1$ pa stoga za $ \vert x\vert<1$ vrijedi

$\displaystyle %
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (x^n)'
=\left...
...m_{n=0}^{\infty} x^n \right)'=\left(\frac{1}{1-x}\right)' =
\frac{1}{(1-x)^2}.
$

Konvergencija reda prikazana je na slici 6.4. Također možete pogledati i animaciju konvergencije.

Slika 6.4: Konvergencija reda potencija
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/redfgd.eps,width=10.2cm}
\end{center}\end{figure}