U ovom poglavlju dokazat ćemo četiri teorema koji povezuju
monotonost, omeđenost i konvergenciju nizova i podnizova.
Teorem 6.2Svaki konvergentan niz je omeđen.
Dokaz.
Neka je
. Odaberimo
. Tada se članovi niza
nalaze unutar
intervala
. To znači da za svaki
vrijedi
i teorem je dokazan.
Q.E.D.
Teorem 6.3Svaki niz ima monotoni podniz.
Dokaz.
Neka je zadan niz
. Definirajmo skup
Na primjer, ako je niz zadan s
tada je
,
,
.
Skup
je ili konačan ili beskonačan pa svaki od
tih slučajeva razmatramo posebno.
Ako je skup
beskonačan, tada u njemu možemo odabrati strogo
uzlazni niz
Prema definiciji skupa
vrijedi
Dakle,
je rastući podniz niza
i teorem je
dokazan.
Ako je skup
konačan, odaberimo
koji je veći od svih
elemenata od
. Tada postoji
takav da je
i
, jer bi u protivnom
bio iz
.
Očito je i
. Nastavljajući ovim postupkom dobivamo
strogo uzlazni niz
čiji su elementi iz skupa
. Vrijedi
pa je
strogo padajući podniz niza
.
Q.E.D.
Teorem 6.4Svaki monoton i omeđen niz je konvergentan.
Dokaz.
Dokazat ćemo slučaj kada je niz
padajući.
Neka je
najveća donja međa skupa čiji su elementi članovi niza,
. Tada
Naime, u protivnom bi postojao
takav da je
za
svaki
, što je u suprotnosti s pretpostavkom da je
infimum.
Niz je padajući pa za
vrijedi
odnosno
. Dakle, definicija 6.1 povlači
i teorem je dokazan.
Q.E.D.
Koristeći ovaj teorem u poglavlju 6.1.3 dat ćemo
definiciju broja
, odnosno baze prirodnih
logaritama.
Prethodna dva teorema nam također koriste za dokazivanje poznatog
Bolzano-Weierstrassovog teorema.
Teorem 6.5 [Bolzano--Weierstrass]Svaki omeđen niz ima konvergentan
podniz.
Dokaz.
Po teoremu 6.3 svaki niz ima monotoni podniz.
Ako je zadani niz omeđen, tada je i monotoni podniz omeđen pa
podniz konvergira po teoremu 6.4.