Razmatranje redova čiji članovi imaju različite predznake, a koji nisu
apsolutno konvergentni, je složenije. U posebnom slučaju kada
predznaci alterniraju, pomaže nam Leibnitzov kriterij konvergencije.
Red
za koji je
za svaki
zove se
alternirani red.
Teorem 6.13 [Leibnitz]
Alternirani red
konvergira ako vrijedi:
i)
,
ii)
.
Na primjer, alternirani harmonijski red
konvergira po Leibnitzovom kriteriju, ali
ne konvergira apsolutno jer red apsolutnih vrijednosti
divergira.
Zadnju jednakost ćemo dokazati u primjeru 6.21.
Alternirani red
također konvergira po Leibnitzovom kriteriju, ali ne konvergira
apsolutno jer red
divergira.
Zadnja jednakost bit će dokazana u
Matematici 2.
Pomoću ovog reda možemo izračunati vrijednost broja
, međutim konvergencija je vrlo spora.
Pokažimo da teorem 6.12 ne vrijedi za alternirani
harmonijski red, odnosno suma reda koji je konvergentan ali nije
apsolutno konvergentan ovisi o redoslijedu zbrajanja.
Prvo primijetimo da su i pozitivni i negativni dio alterniranog
harmonijskog reda beskonačni,
Izborom odgovarajućeg redoslijeda zbrajanja, možemo postići bilo koju
unaprijed zadanu sumu
(recimo
): uzmemo onoliko pozitivnih
članova dok ne pređemo
, zatim uzmemo onoliko negativnih članova
dok se ne vratimo ispod
, zatim onoliko pozitivnih članova dok ne
pređemo
, i tako dalje. Ovaj postupak možemo ponavljati unedogled
jer je svaki ostatak od pozitivnog i negativnog dijela i dalje
beskonačan. Dakle, suma će biti jednaka
, a pri tome koristimo sve
članove reda.
Ovakav postupak očito ne možemo provesti za redove (6.2) i
(6.3) jer su i pozitivni i negativni dijelovi tih redova
konačni.