×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Apsolutna konvergencija     Red realnih brojeva     Niz funkcija


Alternirani redovi

Razmatranje redova čiji članovi imaju različite predznake, a koji nisu apsolutno konvergentni, je složenije. U posebnom slučaju kada predznaci alterniraju, pomaže nam Leibnitzov kriterij konvergencije.

Red $ \sum a_n$ za koji je $ \mathop{\mathrm{sign}}\nolimits a_{n+1}=-\mathop{\mathrm{sign}}\nolimits a_n$ za svaki $ n$ zove se alternirani red.

Teorem 6.13   [Leibnitz] Alternirani red $ \sum a_n$ konvergira ako vrijedi:
i)
$ (\exists n_0\in \mathbb{N}) \textrm{ takav da }
n\geq n_0 \textrm{ povlači } \vert a_{n+1}\vert \leq \vert a_n\vert$ ,
ii)
$ \lim a_n=0$ .

Na primjer, alternirani harmonijski red

$\displaystyle %
\sum
(-1)^{n-1}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =
\ln 2
$

konvergira po Leibnitzovom kriteriju, ali ne konvergira apsolutno jer red apsolutnih vrijednosti $ \sum \frac{1}{n}$ divergira. Zadnju jednakost ćemo dokazati u primjeru 6.21.

Alternirani red

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=
\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}
+\cdots = \frac{\pi}{4}
$

također konvergira po Leibnitzovom kriteriju, ali ne konvergira apsolutno jer red $ \sum \frac{1}{2n-1}$ divergira. Zadnja jednakost bit će dokazana u Matematici 2. Pomoću ovog reda možemo izračunati vrijednost broja $ \pi$ , međutim konvergencija je vrlo spora.

Pokažimo da teorem 6.12 ne vrijedi za alternirani harmonijski red, odnosno suma reda koji je konvergentan ali nije apsolutno konvergentan ovisi o redoslijedu zbrajanja. Prvo primijetimo da su i pozitivni i negativni dio alterniranog harmonijskog reda beskonačni,

$\displaystyle %
\sum \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum \frac{1}{n}=+\infty,\quad
\sum \frac{1}{2n-1}>\frac{1}{2}\sum \frac{1}{n}=+\infty.
$

Izborom odgovarajućeg redoslijeda zbrajanja, možemo postići bilo koju unaprijed zadanu sumu $ s$ (recimo $ s>0$ ): uzmemo onoliko pozitivnih članova dok ne pređemo $ s$ , zatim uzmemo onoliko negativnih članova dok se ne vratimo ispod $ s$ , zatim onoliko pozitivnih članova dok ne pređemo $ s$ , i tako dalje. Ovaj postupak možemo ponavljati unedogled jer je svaki ostatak od pozitivnog i negativnog dijela i dalje beskonačan. Dakle, suma će biti jednaka $ s$ , a pri tome koristimo sve članove reda. Ovakav postupak očito ne možemo provesti za redove (6.2) i (6.3) jer su i pozitivni i negativni dijelovi tih redova konačni.


Apsolutna konvergencija     Red realnih brojeva     Niz funkcija