U ovom poglavlju definirat ćemo niz funkcija, konvergenciju u točki te običnu i uniformnu konvergenciju na nekom skupu.
Niz funkcija označavamo s
,
,
Na primjer, niz funkcija zadan s
Funkcija
Ako
ne ovisi o
već samo o
, odnosno
, niz funkcija
konvergira
uniformno
ili jednoliko
prema funkciji
.
Iz definicije slijedi da je uniformna konvergencija jače svojstvo, odnosno niz funkcija koji konvergira uniformno konvergira i po točkama, dok obrnuto općenito ne vrijedi.
Promotrimo konvergenciju niza funkcija (6.4).
Iz svojstava geometrijskog niza danog u primjeru 6.4,
vidimo da niz konvergira za
prema funkciji
zadanoj s
Niz konvergira obično što ćemo vidjeti rješavajući osnovnu nejednadžbu konvergencije. Promotrimo prvo točke
Prilikom dijeljenja negativnim brojem
Premda su svi članovi niza
neprekidne funkcije,
limes nije neprekidna
funkcija. To se ne može dogoditi kada se radi o uniformnoj
konvergenciji.