Razvoj elementarnih funkcija u Taylorov red
jedna je od najvažnijih
primjena dosadašnjih rezultata ove glave.
Pomoću Taylorove formule možemo računati vrijednosti elementarnih
funkcija kao
,
i
do željene točnosti i to
koristeći samo četiri osnovne računske operacije.
Dokazi teorema koje navodimo su složeni pa ih
izostavljamo.
Formula (6.7) zove se Taylorova formula
, a izraz u
formuli (6.8) je
Schlömlichov oblik ostatka.
Posebno, za
dobivamo Cauchyjev oblik ostatka
a za
Posebno je važna primjena Taylorovog razvoja na elementarne funkcije.
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
odnosno
Taylorovu formulu (6.7) koristimo za računanje vrijednosti elementarnih funkcija.
aproksimira funkciju
Dakle,
Ovo je gotovo točnost logaritamskih tablica. Točnost je još veća za
manje vrijednosti od
, jer je na primjer
.
Izračunajte na ovaj način
i
i usporedite s
rezultatima koje daje kalkulator!
Računala računaju funkcije
,
,
i
na sličan način, odnosno koristeći samo osnovne računske
operacije. Postoje i ''bolji'' polinomi, odnosno polinomi manjeg stupnja
s kojima se postiže ista ili veća točnost.
i
Za
što je još jedan prikaz broja
Funkciju
ne razvijamo u Taylorov red direktno, nego koristimo
jedan od sljedeća dva MacLaurinova razvoja.
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
pa je
Uvrštavanje u formulu (6.10) daje
pa formula (6.12) vrijedi za
Dalje, u točki
red glasi
pa
konvergira po Leibnitzovom kriteriju (vidi poglavlje 6.2.4).
U točki
red glasi
pa divergira kao što smo
pokazali u primjeru 6.10.
Dakle, formula (6.12) vrijedi za
pa pomoću nje možemo izračunati vrijednosti funkcije
za
. Na primjer,
možemo izračunati tako što
u formulu (6.12) uvrstimo
,
što nam daje sumu alterniranog harmonijskog reda iz poglavlja 6.2.4. Konvergencija reda prikazana je na slici 6.7. Također možete pogledati i animaciju konvergencije.
Ukoliko želimo izračunati, na primjer,
, tada nam formula
(6.12) ne koristi, ali možemo korisiti sljedeći razvoj.
slijedi
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
pa je
odnosno
Uvrštavanje u formulu (6.10) daje
Preostaje odrediti za koje vrijednosti
formula vrijedi.
Kako je
, red na desnoj strani
formule (6.13) konvergira za
.
U točki
red glasi
pa divergira,
a u točki
red glasi
pa također
divergira.
Dakle, formula (6.13) vrijedi za
pa pomoću nje možemo izračunati vrijednosti funkcije
za
.
Na primjer,
možemo izračunati tako što
ćemo u formulu (6.13) uvrstiti
.
Konvergencija reda prikazana je na slici 6.8.
Također možete pogledati i
animaciju konvergencije.