Red realnih brojeva

U ovom poglavlju definirat ćemo red realnih brojeva, odnosno sumu beskonačno mnogo sumanada, zatim konvergenciju reda pomoću niza parcijalnih suma, dat ćemo nužne i dovoljne uvjete konvergencije te uvesti pojmove apsolutne i uvjetne konvergencije.

Definicija 6.8 Red realnih brojeva (kraće red) je zbroj beskonačno (prebrojivo mnogo) pribrojnika koji se nalaze u zadanom poretku. Koristimo oznake

$\displaystyle % \sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad \sum a_n, \quad a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n +\cdots$

Broj

je -ti član reda. Broj $s_k=\sum_{n=1}^{k} a_n$ je -ta parcijalna suma reda , a niz $\{s_k\}$ je niz parcijalnih suma.

Definicija 6.9 Red konvergira ako konvergira niz parcijalnih suma. Ako je red konvergentan, suma reda jednaka je limesu niza parcijalnih suma,

$\displaystyle % s=\lim_{k\to \infty} s_k = \sum a_n.$

Još koristimo izraze: red je konvergentan; niz $\{a_n\}$ je zbrojiv ili sumabilan.

Primjer 6.8 Promotrimo geometrijski red

$\displaystyle % \sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1} =\sum_{n=0}^{\infty} q^n\quad \textrm{odnosno} \quad 1+q+q^2+q^3+q^4+\cdots.$

očito vrijedi

pa je $\sum q^{n-1}=\sum 1^{n-1}=+\infty$ . Iz

$\displaystyle % (1+q+q^2+q^3+\cdots +q^{k-1})(1-q)=1-q^k$

za $q\neq 1$ slijedi

$\displaystyle % s_k=\sum_{n=1}^{k} q^{n-1}=\frac{1-q^k}{1-q}.$

Za $\vert q\vert<1$ vrijedi $q^k\to 0$ (vidi primjer 6.4) pa geometrijski red konvergira i vrijedi

$\displaystyle % \sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1}=\lim_{k\to \infty} s_k=\frac{1}{1-q}.$

Za $q\geq 1$ je $\sum q^{n-1}=+\infty$ , a za $q\leq -1$ niz $\{s_k\}$ nema limes.

Primjer 6.9 Zenon je postavio sljedeće pitanje poznato kao Zenonov paradoks:

Ahil se nalazi 1 metar iza kornjače, a 10 puta je brži. Ako krenu istovremeno, dok Ahil stigne do početnog položaja kornjače, kornjača će odmaknuti malo naprijed. Dok Ahil stigne do novog položaja kornjače, kornjača će odmaknuti malo naprijed i tako dalje. Stoga Ahil nikad neće stići kornjaču, što je paradoks.

Zenon slušatelja navodi na zaključak da zbroj od beskonačno udaljenosti mora biti beskonačan, što u ovom slučaju nije točno. Zapravo se radi o geometrijskom redu i Ahil stigne kornjaču nakon

$\displaystyle % 1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\cdots = \frac{1}{1-\frac{1}{10}} = \frac{10}{9} \quad \textrm{metara}.$