×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Nejednadžba s kompozicijom funkcija     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Inverzna funkcija logaritamske funkcije


Inverzna funkcija i područje definicije

Odredite inverznu funkciju funkcije $ f$ zadane s

$\displaystyle f(x)=\frac{\sin{x}+2}{\sin{x}+1}$    

i područje definicije funkcija $ f$ i $ f^{-1}$ .

Rješenje. Funkcija $ f$ je definirana za one $ x\in \mathbb{R}$ za koje je

$\displaystyle \sin{x}\neq -1,$    

odnosno za

$\displaystyle x\neq \frac{3\pi}{2}+2k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}.$    

Stoga je

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\backslash \left\{\frac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in
\mathbb{Z} \right\}.$

Prema [*] [M1, teorem 1.1] je $ f\left[f^{-1}(x)\right]=x$ . Uz oznaku $ f^{-1}(x)=y$ , imamo $ f(y)=x$ , odnosno

$\displaystyle \frac{\sin{y}+2}{\sin{y}+1}=x.$    

Sada je

$\displaystyle \sin{y}+2$ $\displaystyle =x\sin{y}+x,$    
$\displaystyle (x-1)\sin{y}$ $\displaystyle =2-x,$    
$\displaystyle \sin{y}$ $\displaystyle =\frac{2-x}{x-1}.$    

Dakle,

$\displaystyle y=\arcsin{\frac{2-x}{x-1}},
$

odnosno

$\displaystyle f^{-1}(x)=\arcsin{\frac{2-x}{x-1}}.
$

Prema [*] [M1, poglavlje 4.6.6] i [*] [M1, poglavlje 4.6.2], funkcija $ f^{-1}$ je definirana za sve $ x\in \mathbb{R}$ za koje je

$\displaystyle -1\leq \frac{2-x}{x-1} \leq 1$   i$\displaystyle \quad x-1\neq 0$    

pa je

$\displaystyle \mathcal{D}
\left(f^{-1}\right)=\left[\frac{3}{2},+\infty \right>.$


Nejednadžba s kompozicijom funkcija     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Inverzna funkcija logaritamske funkcije