×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Konstantna funkcija     Pregled elementarnih funkcija     Potenciranje s racionalnim eksponentom


Potencija

Potenciranje s prirodnim brojem je funkcija $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definirana s

$\displaystyle f(x)=x^n, \qquad n\in \mathbb{N}.
$

Potenciranje je definirano rekurzivno:

  % latex2html id marker 39284
$\displaystyle x^0=1, \quad \forall x\neq 0, \quad (0^0 \ \textrm{je nedefinirano})$    
  $\displaystyle x^1=x,$    
  $\displaystyle x^{n+1}=x^n\cdot x.$    

Pravila potenciranja se lako dokažu indukcijom:

  $\displaystyle x^{m+n}= x^m\cdot x^n,$ (P1)
  $\displaystyle (x^m)^n=x^{m\cdot n},$ (P2)
  $\displaystyle (x\cdot y)^n= x^n\cdot y^n.$ (P3)

Primjeri potencija dani su na slici 4.18.
Slika 4.18: Potenciranje s prirodnim brojem
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfig{file=slike/potencije.eps,width=8.4cm}
\end{center}\end{figure}
Vidimo da su (ne)parne potencije (ne)parne funkcije. Također vidimo da je za neparan $ n$ funkcija $ x^n$ bijekcija pa ima inverznu funkciju po teoremu 1.1, dok je za paran $ n$ restrikcija funkcije $ x^n$ na interval $ [0,\infty)$ bijekcija pa ima inverznu funkciju.

Ako je $ x\neq 0$ i $ k\in \mathbb{N}$ , tada su dobro definirane i funkcije $ f:\mathbb{R}\backslash \{0\} \to \mathbb{R}$ (vidi sliku 4.19)

$\displaystyle f(x)=x^{-k} = \frac{1}{x^{k}}.
$

Slika 4.19: Funkcije $ f(x)=x^{-k}$ , $ k\in \mathbb{N}$
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfig{file=slike/negative.eps,width=8.4cm}
\end{center}\end{figure}
Pravila (P1), (P2) i (P3) vrijede $ \forall m,n \in \mathbb{Z}$ ukoliko su izrazi dobro definirani, odnosno ukoliko nazivnik nije nula.


Poglavlja


Konstantna funkcija     Pregled elementarnih funkcija     Potenciranje s racionalnim eksponentom