×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Limes     Limes     Limes slijeva i zdesna

Svojstva limesa

Za praktično računanje limesa ne koristimo relaciju (4.3), nego svojstva limesa i osnovne limese koje ćemo upoznati tijekom predavanja.

Teorem 4.3   [Osnovna svojstva limesa] Neka funkcije $f$ i $g$ imaju limese kada $x\to x_0$ . Tada vrijedi

$$\lim_{x\to x_0}(f+g)(x) =\lim_{x\to x_0} f(x)+\lim_{x\to x_0} g(x),$$

$$\lim_{x\to x_0}(f-g)(x) =\lim_{x\to x_0} f(x)-\lim_{x\to x_0} g(x),$$

$$\lim_{x\to x_0}(f\cdot g)(x) =\lim_{x\to x_0} f(x)\cdot \lim_{x\to x_0} g(x),$$

$$\lim_{x\to x_0}\bigg(\frac{f}{g}\bigg)(x) =\frac{\lim_{x\to x_0} f(x)}{\lim_{x\to x_0} g(x)}, \qquad \textrm{uz}\quad \lim_{x\to x_0} g(x)\neq 0.$$

Dokaz.

Dokažimo prvo svojstvo. Odaberimo $\varepsilon >0$ . Prema relaciji (4.3) postoje $\delta_f$ i $\delta_g$ takvi da

$$\vert x-x_0\vert<\delta_f \Rightarrow \vert f(x)-a\vert<\frac{\va... ...vert x-x_0\vert<\delta_g \Rightarrow \vert g(x)-b\vert<\frac{\varepsilon }{2},$$

pri čemu su $a$ i $b$ odgovarajući limesi. Neka je $\delta=\min\{\delta_f,\delta_g\}$ . Tada $\vert x-x_0\vert<\delta$ povlači

$$\vert(f+g)(x)-(a+b)\vert=\vert f(x)-a+g(x)-b\vert\leq \vert f(x)... ...t+\vert g(x)-b\vert<\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon$$

i tvrdnja je dokazana. U gornjoj nejednakosti koristili smo nejednakost trokuta za apsolutnu vrijednost iz teorema 1.10 ii).

Ostale tvrdnje dokazuju se na sličan način pomoću relacije (4.3).     

Q.E.D.

Posebno, za konstantu $c$ vrijedi

$$\lim_{x\to x_0} (c+f(x)) = c+ \lim_{x\to x_0} f(x),$$

$$\lim_{x\to x_0} ( c f(x)) = c \lim_{x\to x_0} f(x),$$

$$\lim_{x\to x_0}\frac{c}{f(x)} =\frac{c}{\lim_{x\to x_0} f(x)}, \qquad \lim_{x\to x_0} f(x)\neq 0.$$

Sljedeća dva teorema navodimo bez dokaza.

Teorem 4.4   [Pravilo ukliještene funkcije] Neka je

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=a.$$

Ako postoji $\delta>0$ takav da za funkciju $h$ vrijedi

$$x\in (x_0-\delta)\cup (x_0+\delta) \quad \Rightarrow \quad f(x)\leq h(x) \leq g(x),$$

tada je također

$$\lim_{x\to x_0}h(x)=a.$$

Situacija opisana u teoremu prikazana je na slici 4.9

Slika 4.9: Pravilo ukliještene funkcije

Primjer 4.6   Dokažimo da je

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.$$ (4.4)

Neka je $x$ blizu nule. Iz slike 4.27 zaključujemo da za $x>0$ vrijedi

$$\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x> x> \sin x,$$

pa dijeleći nejednakost sa $\sin x>0$ imamo

$$\frac{1}{\cos x}>\frac{x}{\sin x}>1.$$

Slično, za $x<0$ vrijedi (negativni brojevi)

$$\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x < x< \sin x,$$

dijeleći nejednakost sa $\sin x<0$ ponovo imamo

$$\frac{1}{\cos x}>\frac{x}{\sin x}>1.$$

Dakle, za $x\neq 0$ vrijedi i recipročna nejednakost

$$1>\frac{\sin x}{x}>\cos x.$$

Kako je

$$\lim_{x\to 0} 1=1, \qquad \lim_{x\to 0} \cos x= 1,$$

jednakost (4.4) vrijedi po teoremu 4.6. Jednakost (4.4) se lijepo vidi i na slici 4.11.

Zadatak 4.5   Koristeći formulu $\sin 2x=2\sin x\cos x$ , treću tvrdnju teorema 4.3 i jednakost (4.4) izračunajte

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}.$$

Čemu je jednak limes

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{x}\ ?$$

Teorem 4.5   [Pravilo zamjene] Neka funkcije $f$ i $g$ imaju iste vrijednosti u nekoj okolini točke $x_0$ , $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ , osim možda u samoj točki $x_0$ . Tada je

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x).$$

Limes     Limes     Limes slijeva i zdesna