×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Klasifikacija funkcija     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Svojstva limesa

Limes

Pojam limesa je jedan od najvažnijih pojmova za razumijevanje analize funkcija. U ovom poglavlju definirat ćemo limes funkcije i dati njegova svojstva. Također ćemo definirati limes slijeva i zdesna, limes u beskonačnosti i beskonačan limes.

Definicija 4.5   Ako se vrijednost funkcije $f(x)$ približava vrijednosti $a$ kada se nezavisna varijabla $x$ približava točki $x_0$ , tada kažemo da $f(x)$ teži prema $a$ kada $x$ teži prema $x_0$ , odnosno

$$f(x)\to a \quad \textrm{kada} \quad x\to x_0.$$

Broj $a$ je limes ili granična vrijednost funkcije $f$ kada $x$ teži prema $x_0$ , odnosno

$$\lim_{x\to x_0} f(x)=a.$$

Pored ove, više intuitivne definicije limesa, imamo i matematičku definiciju:

$$\lim_{x\to x_0} f(x)=a$$

ako (slika 4.8)

$$(\forall \varepsilon >0) \ (\exists \delta > 0) \quad x\in \mathc... ...rt x-x_0\vert <\delta \quad \Rightarrow \quad \vert f(x)-a\vert < \varepsilon .$$ (4.3)

Ako $\lim_{x\to x_0} f(x)$ postoji, tada kažemo da funkcija $f$ konvergira u točki $x_0$ . Ako $\lim_{x\to x_0} f(x)$ ne postoji, tada kažemo da funkcija $f$ divergira u točki $x_0$ .

Iako izgleda složeno, precizna definicija limesa (4.3) nužna je za dokazivanje raznih svojstava limesa kao u teoremima 4.2 i 4.3.

Napomena 4.2  

1)

Veličine $\varepsilon$ i $\delta$ u definiciji (4.3) su općenito mali brojevi (vidi sliku 4.8).

2)

Iz definicije 4.5 vidimo da funkcija $f$ može imati limes u nekoj točki, a da nije definirana u toj točki, ali mora biti definirana u nekoj okolini te točke.

Slika 4.8: Limes funkcije

Slika 4.8 prikazuje situaciju iz relacije (4.3). Drugim riječima, za svaki zeleni interval oko točke $a$ postoji crveni interval oko točke $x_0$ , takav da se vrijednost funkcije nalazi u zelenom intervalu, čim se $x$ nalazi u crvenom intervalu. U ovom slučaju se za $x$ iz crvenog intervala vrijednosti funkcije nalaze u užem ljubičastom intervalu oko $a$ , no taj interval je sadržan u zelenom intervalu pa je relacija (4.3) zadovoljena. Dokažimo prvi teorem o limesu.

Teorem 4.2   Limes je jedinstven.

Dokaz.

Dokaz ćemo provesti pomoću kontradikcije. Pretpostavimo suprotno od tvrdnje teorema, odnosno da postoje dva različita limesa u točki $x_0$ ,

$$\lim_{x\to x_0} f(x)=a \quad \textrm{i} \quad \lim_{x\to x_0} f(x)=b.$$

Odaberimo $\varepsilon =(b-a)/3$ . Prema relaciji (4.3) postoje $\delta_a$ i $\delta_b$ takvi da

$$\vert x-x_0\vert<\delta_a \Rightarrow f(x)\in (a-\varepsilon ,a+\... ...\vert x-x_0\vert<\delta_b \Rightarrow f(x)\in (b-\varepsilon ,b+\varepsilon ).$$

Tada bi za $\delta=\min\{\delta_a,\delta_b\}$ moralo vrijediti

$$\vert x-x_0\vert<\delta \quad \Rightarrow \quad f(x)\in (a-\varepsilon ,a+\varepsilon ) \ \wedge \ f(x)\in (b-\varepsilon ,b+\varepsilon ).$$

No, kako su intervali na desnoj strani disjunktni zbog našeg izbora $\varepsilon$ , to je nemoguće. Dobili smo kontradikciju pa je teorem dokazan.     

Q.E.D.

Poglavlja

• Svojstva limesa
• Limes slijeva i zdesna
• Limes u beskonačnosti
• Beskonačan limes

Klasifikacija funkcija     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Svojstva limesa