×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Limes slijeva i zdesna     Limes     Beskonačan limes


Limes u beskonačnosti

Ako je područje definicije $ \mathcal{D}$ neograničene s jedne ili s obje strane, zanima nas postoji li limes funkcije kada nezavisna varijabla $ x$ teži k $ -\infty$ ili $ +\infty$ .

Vrijednost $ a$ je limes funkcije $ f$ kada $ x\to +\infty$ (limes u desnom kraju), odnosno

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=a,
$

ako

$\displaystyle (\forall \varepsilon >0) \ (\exists M > 0) \quad
x\in \mathcal{D}\ \wedge \ x > M \quad \Rightarrow \quad \vert f(x)-a\vert
< \varepsilon .
$

Slično, vrijednost $ a$ je limes funkcije $ f$ kada $ x\to -\infty$ ( limes u lijevom kraju), odnosno

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=a,
$

ako

$\displaystyle (\forall \varepsilon >0) \ (\exists M < 0) \quad
x\in \mathcal{D}\ \wedge \ x < M \quad \Rightarrow \quad \vert f(x)-a\vert
< \varepsilon .
$

Napomena 4.4   Svojstva limesa iz poglavlja 4.3.1 vrijede i za limese u beskonačnosti.

Primjer 4.8  
a)
Kako je funkcija sinus omeđena, $ \vert\sin x\vert\leq 1$ , vrijedi (vidi sliku 4.11)

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x}=0, \qquad
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sin x}{x}=0.
$

b)
Funkcija $ f(x)=1/x$ očito teži k nuli kada $ x\to +\infty$ i kada $ x\to -\infty$ . Za razliku od prvog primjera, ovdje možemo čak odrediti da li $ f(x)\to 0$ s gornje ili donje strane (vidi sliku 4.12):

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0_+, \qquad
\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}=0_-.
$

Slika 4.11: Funkcija $ \sin x/x$
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/sinusxx.eps,width=10.8cm}
\end{center}\end{figure}

Slika 4.12: Funkcija $ 1/x$
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/jedanx.eps,width=8.4cm}
\end{center}\end{figure}


Limes slijeva i zdesna     Limes     Beskonačan limes