×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Svojstva limesa     Limes     Limes u beskonačnosti


Limes slijeva i zdesna

Kada nezavisna varijabla $ x$ teži k $ x_0$ slijeva ili zdesna, limesi ne moraju biti jednaki.

Vrijednost $ a$ je limes slijeva funkcije $ f$ u točki $ x_0$ , odnosno

$\displaystyle \lim_{x\to x_0-0}f(x)=a,
$

ako

$\displaystyle (\forall \varepsilon >0) \ (\exists \delta > 0) \quad
x\in \mathc...
...cap (x_0-\delta,x_0) \quad \Rightarrow \quad \vert f(x)-a\vert
< \varepsilon .
$

Slično, vrijednost $ a$ je limes zdesna funkcije $ f$ u točki $ x_0$ , odnosno

$\displaystyle \lim_{x\to x_0+0}f(x)=a,
$

ako

$\displaystyle (\forall \varepsilon >0) \ (\exists \delta > 0) \quad
x\in \mathc...
...cap (x_0,x_0+\delta) \quad \Rightarrow \quad \vert f(x)-a\vert
< \varepsilon .
$

Napomena 4.3   Svojstva limesa iz poglavlja 4.3.1 vrijede i za limese s lijeva i zdesna.

Primjer 4.7   Funkcija predznak ili signum definirana je na sljedeći način:

$\displaystyle \mathop{\mathrm{sign}}\nolimits :\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}, \qquad
\mathop{\mathrm{sign}}\nolimits (x)= \frac{x}{\vert x\vert}.
$

Često se po dogovoru uzima $ \mathop{\mathrm{sign}}\nolimits (0)=1$ (vidi sliku 4.10). Odredimo limese slijeva i zdesna u točki $ x_0=0$ : za $ x>0$ vrijedi $ \mathop{\mathrm{sign}}\nolimits (x)=x/x=1$ pa je

$\displaystyle \lim_{x\to x_0+0}\frac{x}{\vert x\vert}=1.
$

Za $ x<0$ vrijedi $ \mathop{\mathrm{sign}}\nolimits (x)=x/(-x)=-1$ pa je

$\displaystyle \lim_{x\to x_0-0}\frac{x}{\vert x\vert}=-1.
$

Iz slike 4.10 vidimo da za svaki $ \varepsilon >0$ možemo uzeti bilo koji $ \delta>0$ .

Slika 4.10: Funkcija $ \mathop{\mathrm{sign}}\nolimits (x)$
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/signum.eps,width=7.2cm}
\end{center}\end{figure}


Svojstva limesa     Limes     Limes u beskonačnosti