×   HOME
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika1
Ravnina     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Primjeri


Primjene

Pomoću vektora i operacija s njima te pomoću raznih oblika jednadžbi pravca i ravnine možemo ispitivati čitav niz međuodnosa i svojstava:

a)
Međusobni odnosi pravaca i ravnina.
1.
Pravci $ p_1$ i $ p_2$ su paralelni, $ p_1 \parallel p_2$ , ako za njihove vektore smjera vrijedi $ \mathbf{s}_1=t\, \mathbf{s}_2$ , $ t\in \mathbb{R}$ . Paralelni pravci mogu, ali ne moraju ležati jedan na drugom.
2.
Pravci $ p_1$ i $ p_2$ su okomiti, $ p_1 \perp p_2$ , ako za njihove vektore smjera vrijedi $ \mathbf{s}_1\cdot \mathbf{s}_2=0$ . Okomiti pravci se mogu sjeći, ali mogu biti i mimosmjerni.
3.
Ravnine $ \rho_1$ i $ \rho_2$ su paralelne, $ \rho_1 \parallel \rho_2$ , ako za njihove normale vrijedi $ \mathbf{n}_1=t\, \mathbf{n}_2$ , $ t\in \mathbb{R}$ . Paralelne ravnine mogu, ali ne moraju ležati jedna na drugoj.
4.
Ravnine $ \rho_1$ i $ \rho_2$ su okomite, $ \rho_1 \perp \rho_2$ , ako za njihove normale vrijedi $ \mathbf{n}_1\cdot \mathbf{n}_2=0$ . Okomite ravnine se sijeku u pravcu.
5.
Kut između pravaca $ p_1$ i $ p_2$ nalazimo pomoću skalarnog produkta vektora smjera,

$\displaystyle % \cos \angle(p_1,p_2)=\frac{\mathbf{s}_1\cdot \mathbf{s}_2}{\vert\mathbf{s}_1\vert\, \vert\mathbf{s}_2\vert}. $

6.
Kut između ravnina $ \rho_1$ i $ \rho_2$ nalazimo pomoću skalranog produkta normala,

$\displaystyle % \cos \angle(\rho_1,\rho_2)=\frac{\mathbf{n}_1\cdot \mathbf{n}_2}{\vert\mathbf{n}_1\vert\, \vert\mathbf{n}_2\vert}. $

7.
Kut između pravca $ p$ i ravnine $ \rho$ nalazimo pomoću skalranog produkta vektora smjera i normale

$\displaystyle % \sin \angle(p,\rho)=\frac{\mathbf{s}\cdot \mathbf{n}}{\vert\mathbf{s}\vert\, \vert\mathbf{n}\vert}. $

b)
Sjecišta.
1.
Točka $ T$ u kojoj se sijeku pravci $ p_1$ i $ p_2$ , $ T=p_1\cap p_2$ .
2.
Pravac $ p$ koji je presjek ravnina $ \rho_1$ i $ \rho_2$ , $ p=\rho_1\cap\rho_2$ .
3.
Točka $ T$ u kojoj pravac $ p$ siječe ravninu $ \rho$ , $ T=p\cap \rho$ : sjecište tražimo tako da parametarsku jednadžbu pravca uvrstimo u opći oblik jednadžbe ravnine i riješimo linearni sustav od jedne jednadžbe s jednom nepoznanicom (primjer 3.12).
c)
Projekcije.
1.
Projekcija točke $ T$ na pravac $ p$ (primjer 3.13).
2.
Projekcija točke $ T$ na ravninu $ \rho$ (primjer 3.14).
3.
Projekcija pravca $ p$ na ravninu $ \rho$ .
Najčešće tražimo ortogonalne projekcije, ali možemo tražiti i projekcije u bilo kojem smjeru.
d)
Udaljenosti.
1.
Udaljenost točaka $ T_1=(x_1,y_1,z_1)$ i $ T_2=(x_2,y_2,z_2)$ : iz postupka nalaženja komponenata vektora u primjeru 3.2 i formule za duljinu vektora (3.1) slijedi

$\displaystyle % d(T_1,T_2)=\vert\overrightarrow{T_1T_2}\vert=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}. $

2.
Udaljenost točke $ T$ od pravca $ p$ : prvo nađemo projekciju $ T'$ točke $ T$ na pravac $ p$ , a onda izračunamo $ d(T,p)=\vert\overrightarrow{TT'}\vert$ (primjer 3.13).
3.
Udaljenost točke $ T$ od ravnine $ \rho$ : prvo nađemo projekciju $ T'$ točke $ T$ na ravninu $ \rho$ , a onda izračunamo $ d(T,\rho)=\vert\overrightarrow{TT'}\vert$ (primjer 3.14).
4.
Udaljenost pravaca $ p_1$ i $ p_2$ , $ d(p_1,p_2)$ .
5.
Udaljenost ravnina $ \rho_1$ i $ \rho_2$ , $ d(\rho_1,\rho_2)$ .
6.
Udaljenost pravca $ p$ i ravnine $ \rho$ , $ d(p,\rho)$ .
e)
Analiza trokuta.
1.
Težište - sjecište težišnica, odnosno pravaca koji spajaju vrh trokuta sa sredinom nasuprotne stranice.
2.
Upisana kružnica - središte je sjecište simetrala kutova, odnosno pravaca koji raspolovljuju unutarnje kutove trokuta, a radijus je udaljenost središta od bilo koje stranice.
3.
Opisana kružnica - središte je sjecište simetrala stranica, odnosno okomica podignutih od sredine stranice trokuta, a radijus je udaljenost središta od bilo kojeg vrha.
4.
Ortocentar - sjecište visina, odnosno okomica spuštenih iz vrha trokuta na nasuprotnu stranicu.
f)
Površine i volumeni.
1.
Površina poligonalnih likova u prostoru - lik rastavljamo na trokute, a površine trokuta računamo pomoću vektorskog produkta kao u primjeru 3.7.
2.
Volumeni tijela omeđenih samo s ravnim plohama - tijelo rastavljamo na tetraedre, a površine tetraedara računamo pomoću mješovitog produkta kao u primjeru 3.8.
Postupci za ispitivanje ovih međuodnosa i svojstava detaljno su opisani u vježbama.


Poglavlja

Ravnina     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Primjeri