×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Vektorski produkt     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Vektorsko-vektorski produkt


Mješoviti produkt

Definicija 3.6   Mješoviti produkt ili vektorsko-skalarni produkt vektora $ \mathbf{a}$ , $ \mathbf{b}$ i $ \mathbf{c}$ je broj

$\displaystyle (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}$ $\displaystyle = \vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\vert\, \vert\mathbf{c}\vert \cos \angle (\mathbf{a}\times\mathbf{b}, \mathbf{c})$    
  $\displaystyle =\vert\mathbf{a}\vert\, \vert\mathbf{b}\vert\sin\angle(\mathbf{a}...
...f{b})\,\vert\mathbf{c}\vert \cos \angle(\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{c}).$    

Mješoviti produkt jednak je volumenu ili negativnoj vrijednosti volumena paralelopipeda kojeg razapinju vektori $ \mathbf{a}$ , $ \mathbf{b}$ i $ \mathbf{c}$ . Naime,

$\displaystyle %
\vert\mathbf{a}\vert\, \vert\mathbf{b}\vert\sin\angle(\mathbf{a},\mathbf{b})
$

je površina baze koja je razapeta vektorima $ \mathbf{a}$ i $ \mathbf{b}$ , a ako s $ \rho$ označimo ravninu baze, tada je

$\displaystyle %
\vert\mathbf{c}\vert\cos \angle(\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{c})=
\pm \vert\mathbf{c}\vert\sin \angle(\rho,\mathbf{c}),
$

što je jednako visini ili negativnoj vrijednosti visine (slika 3.13).

Također zaključujemo da je $ (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=0$ ako i samo ako je barem jedan od vektora nul-vektor ili ako su vektori komplanarni, odnosno linearno zavisni.

Slika 3.13: Mješoviti produkt
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/mjesp.eps,width=9.6cm}\end{center}\end{figure}

Teorem 3.4   Ako je

$\displaystyle %
\mathbf{a}=\{a_x,a_y,a_z\}, \qquad \mathbf{b}=\{b_x,b_y,b_z\}, \qquad
\mathbf{c}=\{c_x,c_y,c_z\},
$

tada je

$\displaystyle %
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\begin{vmatrix}
a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ c_x&c_y&c_z
\end{vmatrix}$

Dokaz.

Tvrdnja slijedi iz teorema 3.2 i 3.3.     
Q.E.D.

Zadatak 3.3   Koristeći teorem 3.4 i svojstvo determinante D3 iz poglavlja 2.9.1 dokažite da je

$\displaystyle (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}$ $\displaystyle =(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\cdot \mathbf{a}= (\mathbf{c}\times\mathbf{a})\cdot \mathbf{b}=-(\mathbf{a}\times\mathbf{c})\cdot \mathbf{b}$    
  $\displaystyle =-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})\cdot \mathbf{c}= -(\mathbf{c}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{a}.$    

Slično kao što pomoću vektorskog produkta možemo računati površine poligonalnih likova (primjer 3.7), tako pomoću mješovitog produkta i teorema 3.4 možemo računati volumene svih tijela koja su omeđena samo s ravnim plohama.

Primjer 3.8   Izračunajmo volumen tetraedra $ ABCD$ zadanog točkama

$\displaystyle %
A=(0,-1,0),\quad B=(3,3,0), \quad C=(-1,3,1), \quad D=(1,1,4).
$

Volumen tetraedra jednak je šestini volumena paralelopipeda razapetog vektorima $ \overrightarrow{AB}$ , $ \overrightarrow{AC}$ i $ \overrightarrow{AD}$ (slika 3.14). Kako je

$\displaystyle %
\overrightarrow{AB}=\{3,4,0\}, \quad \overrightarrow{AC}=\{-1,4,1\},\quad
\overrightarrow{AD}=\{1,2,4\},
$

vrijedi

$\displaystyle %
V=\frac{1}{6}\, \vert(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow...
...
\begin{vmatrix}3&4&0\\ -1&4&1\\ 1&2&4
\end{vmatrix}\,
\bigg\vert=\frac{62}{6}
$

Uočimo da smo na jednostavan način riješili naočigled složen problem, jer smo našli volumen tijela, a nismo ga morali niti skicirati. Na isti način možemo provjeriti leže li četiri točke u istoj ravnini, jer će u tom slučaju volumen tetraedra biti nula. Na sličan način možemo izračunati volumen bilo kojeg tijela koje je omeđeno samo s ravnim plohama, jer svako takvo tijelo možemo podijeliti na tetraedre.

Slika 3.14: Volumen tetraedra
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/vtet.eps,width=9.6cm}\end{center}\end{figure}

Zadatak 3.4   Izračunajte volumen tetraedra iz prethodnog primjera pomoću paralelopipeda razapetog s vektorima $ \overrightarrow{BA}$ , $ \overrightarrow{BC}$ i $ \overrightarrow{BD}$ . Moramo li uzeti vektore s hvatištem u istom vrhu?


Vektorski produkt     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Vektorsko-vektorski produkt