×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Inverzna matrica     LINEARNA ALGEBRA     Svojstva determinanti


Determinante

Za definiciju determinante potreban nam je pojam permutacije. Permutacija brojeva $ 1,2,\ldots,n$ je svaka uređena $ n$ -torka $ (i_1,i_2,\ldots,i_n)$ u kojoj se svaki od brojeva $ 1,2,\ldots,n$ javlja točno jedanput. Brojevi $ i_p$ i $ i_q$ su u inverziji ako je $ p<q$ i $ i_p>i_q$ . Permutacija je parna ako je broj inverzija u njoj paran, a neparna inače. Sljedeća tablica prikazuje sve permutacije brojeva $ 1,2,3$ , broj inverzija i parnost:

permutacija # inverzija parnost
(1,2,3) 0 parna
(1,3,2) 1 neparna
(2,1,3) 1 neparna
(2,3,1) 2 parna
(3,1,2) 2 parna
(3,2,1) 3 neparna
Vidimo da je pola permutacija parno, a pola neparno. To vrijedi za svaki $ n$ .

Teorem 2.7   Vrijedi sljedeće:
i)
broj permutacija od $ n$ brojeva jednak je

$\displaystyle %
n(n-1)(n-2)\cdots 1\equiv n!,
$

ii)
ako u permutaciji $ (i_1,i_2,\ldots,i_n)$ zamijenimo mjesta brojevima $ i_p$ i $ i_q$ , $ p\neq q$ , parnost će se promijeniti.

Dokaz.

i)
Prvo mjesto u permutaciji možemo popuniti s $ n$ brojeva, a drugo mjesto u permutaciji možemo popuniti s preostalih $ n-1$ brojeva. To znači da prva dva mjesta možemo popuniti na $ n(n-1)$ različitih načina pa prvu tvrdnju možemo dokazati indukcijom.
ii)
Ako dva susjedna elementa zamijene mjesta, tada se parnost promijeni. Pretpostavimo sada da je $ q-p>1$ , odnosno $ i_p$ i $ i_q$ nisu susjedi. Tada $ i_p$ možemo prebaciti na $ q$ -tu poziciji s $ q-p$ zamjena susjednih elemenata udesno. Pri tome su se svi elementi $ i_{p+1},\ldots,i_q$ pomakli za jedno mjesto ulijevo. Sada pomoću $ q-p-1$ zamjena susjednih elemenata ulijevo prebacimo element $ i_q$ s pozicije $ q-1$ na poziciju $ p$ . Pri tome se ostali elementi $ i_{p+1},\ldots,i_{q-1}$ vrate na svoja originalna mjesta, a $ i_p$ i $ i_q$ su zamijenili mjesta. Ukupno smo izvršili $ 2(q-p)-1$ , dakle neparni broj zamjena susjednih elemenata pa se parnost promijenila.
Q.E.D.

Zadatak 2.8   Odredite parnost permutacije $ (1,3,5,7,6,2,4)$ , a zatim zamijenite $ i_2$ i $ i_5$ na način koji je opisan u dokazu teorema 2.7.

Sada možemo definirati determinantu.

Definicija 2.6   Determinanta matrice $ A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_n$ je broj

$\displaystyle \det(A)=\sum_{\pi\in \Pi_n} (-1)^{k(\pi)} a_{1i_1} a_{2i_2}\cdots a_{ni_n},$ (2.8)

pri čemu je $ \Pi_n$ skup svih permutacija $ \pi=(i_1,i_2,\ldots,i_n)$ , a $ k(\pi)$ je broj inverzija u permutaciji $ \pi$ .

Determinantu matrice $ A$ još označavamo s $ \vert A\vert$ . Na primjer,

$\displaystyle %
\begin{vmatrix}a & b\\ c&d
\end{vmatrix}=ad-bc,
$

i

\begin{displaymath}\begin{split}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{...
...{red}{\mathbf{2}}}a_{3\textcolor{red}{\mathbf{1}}}. \end{split}\end{displaymath}    

Formulu za determinantu matrice $ 3\times 3$ jednostavnije pamtimo pomoću Sarrusovog pravila.

Za izračunavanje formule (2.8) potrebno je $ (n-1)n!$ množenja i $ n!-1$ zbrajanja, što je praktično neizvedivo za veliki $ n$ . U poglavlju 2.9.1 ćemo vidjeti kako se determinante efikasno računaju pomoću Gaussove eliminacije.

Svaki umnožak u formuli (2.8) ima točno jedan element iz svakog retka i svakog stupca, pri čemu su indeksi redaka navedeni u osnovnoj permutaciji $ (1,2,\ldots,n)$ . No, svaki umnožak možemo zapisati i tako da indeksi stupaca budu u osnovnoj permutaciji. Indeksi redaka tada stoje u inverznoj permutaciji permutacije $ \pi$ . Može se pokazati da inverzna permutacija ima istu parnost kao i $ \pi$ . Stoga vrijedi

$\displaystyle \det(A)=\sum_{\pi\in \Pi} (-1)^{k(\pi)} a_{i_11} a_{i_22}\cdots a_{i_nn}.$ (2.9)

Zadatak 2.9   Izračunajte determinantu matrice $ 3\times 3$ prema formuli (2.9) i usporedite s izrazom (2.9) kojeg smo dobili prema formuli (2.8).


Poglavlja


Inverzna matrica     LINEARNA ALGEBRA     Svojstva determinanti