×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Računanje inverzne matrice     Determinante     Rješavanje električne mreže


Cramerovo pravilo

Sljedeći teorem daje formulu za rješenje sustava linearnih jednadžbi kada je matrica sustava regularna.

Teorem 2.10   [Cramer]Neka je $ A$ regularna matrica i neka je $ D_i$ determinanta matrice koja se dobije kada se $ i$ -ti stupac matrice $ A$ zamijeni s vektorom $ \mathbf{b}$ . Tada su komponente rješenja sustava $ A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ dane s

$\displaystyle %
x_i=\frac{D_i}{\det(A)}.
$

Dokaz.

Matrica $ A$ je regularna pa je

$\displaystyle %
\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}= \frac{1}{\det(A)} \tilde A^T \mathbf{b}.
$

Ova jednakost napisana po komponentama glasi

$\displaystyle %
x_i=\frac{1}{\det(A)} \sum_k A_{ki}b_k = \frac{1}{\det(A)} D_i
$

pa je teorem dokazan.     
Q.E.D.

Zadatak 2.12   Neka je matrica sustava

  $\displaystyle a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1$    
  $\displaystyle a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2$    

regularna. Riješite sustav pomoću Cramerovog pravila i provjerite rješenje.