Eksponencijalna i logaritamska funkcija

☰ matematika1

Za eksponencijalnu funkciju definiranu u poglavlju 4.6.3 vrijedi

$\displaystyle (a^x)'=a^x \ln a, \qquad a>0,\ x\in \mathbb{R}.$

(5.4)

Posebno, za

zbog $\ln e=1$ vrijedi

$\displaystyle (e^x)'=e^x,\qquad x\in \mathbb{R},$

(5.5)

pa je

jedina funkcija koju deriviranje "ne mijenja". Izvod formule je nešto složeniji. Koristeći definiciju derivacije (5.1) i teorem 4.3 imamo

$\displaystyle (a^x)'$	$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}= \lim_{... ...a x}-a^x}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{a^x (a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}$
	$\displaystyle = a^x \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}.$

Uvedimo supstituciju $a^{\Delta x}=t+1$ , odnosno

$\displaystyle \Delta x=\frac{\ln (t+1)}{\ln a},$

što povlači

$\displaystyle \Delta x\to 0 \quad \Leftrightarrow \quad t\to 0.$

Koristeći redom teorem 4.3, teorem 4.7 i primjer 4.9 b) imamo

$\displaystyle (a^x)'$	$\displaystyle =a^x \lim_{t\to 0} \frac{t}{\frac{\ln(t+1)}{\ln a}}$
	$\displaystyle =a^x\ln a \lim_{t\to 0}\frac{1}{\frac{1}{t}\ln(t+1)}$
	$\displaystyle =a^x\ln a \frac{1}{\lim_{t\to 0} \ln(t+1)^{1/t} }$
	$\displaystyle =a^x\ln a \frac{1}{\ln\big(\lim_{t\to 0} (t+1)^{1/t} \big) }$
	$\displaystyle = a^x\ln a \frac{1}{\ln e }$
	$\displaystyle = a^x\ln a,$