Hiperbolne i area funkcije

☰ matematika1

Eksponencijalna i logaritamska funkcija Derivacije elementarnih funkcija Potencije

Hiperbolne i area funkcije

Derivacije hiperbolnih funkcija iz poglavlja 4.6.9 lako dobijemo pomoću formule (5.5) i osnovnih pravila deriviranja:

$\displaystyle (\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x)'$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x,$	$\displaystyle \qquad$	$\displaystyle x\in \mathbb{R},$
$\displaystyle (\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x)'$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x,$	$\displaystyle \qquad$	$\displaystyle x\in \mathbb{R},$
$\displaystyle (\mathop{\mathrm{th}}\nolimits x)'$	$\displaystyle =\frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^2 x},$	$\displaystyle \qquad$	$\displaystyle x\in \mathbb{R},$	(5.6)
$\displaystyle (\mathop{\mathrm{cth}}\nolimits x)'$	$\displaystyle =-\frac{1}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits ^2 x},$	$\displaystyle \qquad$	$\displaystyle x\in \mathbb{R}\setminus\{0\}.$

Derivacije area funkcija dobijemo primjenjujući Teorem o deriviranju inverzne funkcije 5.3 na formule (5.6):

$\displaystyle (\mathop{\mathrm{arsh}}\nolimits x)'$	$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},$	$\displaystyle \qquad$	$\displaystyle x\in \mathbb{R},$
$\displaystyle (\mathop{\mathrm{arch}}\nolimits x)'$	$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},$	$\displaystyle \qquad$	$\displaystyle x\in (1,+\infty),$
$\displaystyle (\mathop{\mathrm{arth}}\nolimits x)'$	$\displaystyle =\frac{1}{1-x^2},$	$\displaystyle \qquad$	$\displaystyle x\in (-1,1),$	(5.7)
$\displaystyle (\mathop{\mathrm{arcth}}\nolimits x)'$	$\displaystyle =\frac{1}{1-x^2},$	$\displaystyle \qquad$	$\displaystyle x\in (-\infty,-1) \cup (1,+\infty).$

Zadatak 5.1

a): Opišite sličnosti i razlike između derivacija hiperbolnih i area funkcija i derivacija trigonometrijskih i arkus funkcija.
b): Dokažite formule (5.6) i (5.7).
c): Nađite asimptote funkcija u (5.7) i skicirajte te funkcije.

Eksponencijalna i logaritamska funkcija Derivacije elementarnih funkcija Potencije