×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Lokalni ekstremi parametarski zadane     DERIVACIJE I PRIMJENE     Točke infleksije


Lokalni ekstremi i intervali monotonosti

Odredite lokalne ekstreme i intervale monotonosti funkcije $ f$ zadane s

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{3}-\sqrt[3]x.$    

Rješenje. Zadana funkcija je definirana za svaki $ x\in \mathbb{R}$ . Da bismo pomoću [*] [M1, teorem 5.11] ispitali intervale rasta i pada funkcije, odredimo njenu prvu derivaciju. Vrijedi

$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x^2}}.$    

Budući je $ f'(x)=0$ za $ x_1=-1$ i $ x_2=1$ , stacionarne točke su

$\displaystyle x_1=-1\quad\textrm{ i }\quad x_2=1.$    

Nejednakost $ f'(x)>0$ vrijedi ako je $ \sqrt[3]{x^2}-1>0$ , odnosno $ x^2>1$ , pa je

$\displaystyle f'(x)>0,$   za$\displaystyle \quad x\in \langle-\infty,-1\rangle \cup \langle1,+\infty \rangle$    

i

$\displaystyle f'(x)<0,$   za$\displaystyle \quad x\in \langle-1,0\rangle \cup \langle0,1\rangle.$    

Dakle, funkcija $ f$ je rastuća na $ \langle-\infty,-1\rangle \cup
\langle1,+\infty \rangle$ , a padajuća na $ \langle-1,0\rangle\cup
\langle0,1\rangle$ . Prema [*] [M1, teorem 5.13] slijedi da je točka $ T_1(-1,\frac{2}{3})$ lokalni maksimum, a $ T_2(1,-\frac{2}{3})$ lokalni minimum.

Promotrimo još kritičnu točku $ x_3=0$ u kojoj nije definirana prva derivacija. Zbog

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0\pm0}f'(x)=-\infty,$

$ f$ pada slijeva i zdesna od $ x_3$ , pa u $ x_3$ nema lokalni ekstrem.


Lokalni ekstremi parametarski zadane     DERIVACIJE I PRIMJENE     Točke infleksije