☰ matematika1

Točke infleksije

Odredite $a\in \mathbb{R}$ takav da funkcija zadana s

$\displaystyle f(x)=\frac{x+a}{x^2+a}$

ima točku infleksije u

, a zatim odredite sve točke infleksije funkcije

Rješenje. Izračunajmo drugu derivaciju funkcije . Vrijedi

$\displaystyle f'(x)=\frac{1\cdot(x^2+a)-(x+a)\cdot 2x}{(x^2+a)^2} =-\frac{x^2+2ax-a}{(x^2+a)^2},$

pa je

$\displaystyle f''(x)$	$\displaystyle =-\frac{(2x+2a)\cdot(x^2+a)^2-(x^2+2ax-a)\cdot2(x^2+a)\cdot2x}{(x^2+a)^4}$
	$\displaystyle =-\frac{2\,[(x+a)\cdot(x^2+a)-(x^2+2ax-a)\cdot2x]}{(x^2+a)^3}$
	$\displaystyle =\frac{2(x^3+3ax^2-3ax-a^2)}{(x^2+a)^3}.$

Prema

[M1, teorem 5.16], nužan uvjet da funkcija

ima točku infleksije u

, odnosno

$\displaystyle \frac{2(1-a^2)}{(1+a)^3}=0.$

Ova jednadžba ima dva rješenja

. Za

dobivamo funkciju

$\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{1}{x+1},\quad x\neq -1,$

koja nema točaka infleksije. Za

dobivamo funkciju

$\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^2+1}.$

Njena druga derivacija je

$\displaystyle f''(x)=\frac{2(x^3+3x^2-3x-1)}{(x^2+1)^3}=\frac{2(x-1)(x^2+4x+1)}{(x^2+1)^3}.$

Rješenja jednadžbe

$\displaystyle x_1=1,\quad x_2=-2+\sqrt{3} \quad\textrm{ i }\quad x_3=-2-\sqrt{3}.$

Izračunajmo još vrijednost treće derivacije u dobivenim točkama. Vrijedi

$\displaystyle f'''(x)$	$\displaystyle =\frac{2\,[(3x^2+6x-3)(x^2+1)^3-(x^3+3x^2-3x-1)\cdot3(x^2+1)^2\cdot2x]}{(x^2+1)^6}$
	$\displaystyle =\frac{6\,[(x^2+2x-1)(x^2+1)-(x^3+3x^2-3x-1)\cdot2x]}{(x^2+1)^4}.$

Uvrštavanjem vidimo da je $f'''(x_i)\neq 0$ za

pa, prema

[M1, teorem 5.18], funkcija

ima točke infleksije u

i traženi parametar je