Kod ekstrema razlikujemo lokalne i globalne ekstreme. Za ispitivanje lokalnih ekstrema koristimo Fermatov teorem 5.6 i Teorem o monotonosti 5.11.
U definiciji lokalnih ekstrema te u iskazima i dokazima teorema o
ekstremima, koristimo pojam
-okoline:
-okolina točke
je interval
pri čemu je
.
Razlike između lokalnih i globalnih ekstrema prikazane su na slici
5.9. Kod lokalnih ekstrema se traži da je vrijednost funkcije
u točki ekstrema strogo najmanja ili najveća na nekoj okolini.
S druge strane, definicija globalnih ekstrema dozvoljava da se
globalni ekstrem nalazi u više točaka pa čak i na nekom intervalu.
Na primjer, za prikazanu funkciju
vrijedi sljedeće:
Za iskazivanje teorema koji daju uvjete za postojanje ekstrema, potrebna nam je sljedeća definicija.
Na primjer, za funkciju prikazanu na slici 5.9 stacionarne
točke su sve točke u intervalima
i
te točke
,
i
. Kritične točke su sve navedene točke te još točke
,
,
,
,
i
.
Razlikujemo dvije vrste uvjeta za postojanje lokalnog ekstrema u nekoj točki: nužan uvjet je uvjet kojeg ispunjava svaka točka u kojoj funkcija ima lokalni ekstrem; dovoljan uvjet je uvjet koji znači da funkcija u nekoj točki ima lokalni ekstrem čim je taj uvjet ispunjen.
Na primjer, vidimo da su točke
,
,
i
u kojima funkcija
prikazana na slici 5.9 ima lokalne ekstreme
ujedno i kritične točke te funkcije.
S druge strane, vidimo da teorem 5.12 daje samo nužan, a ne i
dovoljan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema, jer funkcija nema
lokalne ekstreme u ostalim kritičnim točkama.
Teorem 5.12 ćemo ilustrirati još jednim primjerom.
Za iskazivanje teorema koji daju dovoljne uvjete za postojanje ekstrema, potrebna nam je sljedeća definicija.
Primijetimo da funkcija može mijenjati predznak u nekoj točki, a da pri tome nije definirana u toj točki.
Na primjer, funkcije iz primjera 5.13 a) i b) ispunjavaju uvjete teorema, dok funkcija iz primjera 5.13 c) te uvjete ne ispunjava.
Dovoljan uvjet za postojanje ekstrema možemo izraziti i pomoću druge derivacije.
Zadnja jednakost vrijedi jer je
Prethodni dokaz možemo riječima iskazati i na sljedeći način:
ako je
, tada je
veća od nule i na nekoj okolini točke
. To znači da je prva derivacija
strogo rastuća na toj
okolini. Kako je
, zaključujemo da je
negativna lijevo od
točke
i pozitivna desno do točke
. To pak znači da funkcija
strogo pada lijevo od točke
, a strogo raste desno od točke
pa je
točka lokalnog minimuma.
Na primjer, funkcija
ispunjava uvjete teorema 5.14 u
točki
, jer je
, a
pa se u točki
nalazi lokalni minimum.
S druge strane, teorem ne možemo primijeniti na funkciju
u točki
, jer nije derivabilna u toj točki.
Teorem također ne možemo primijeniti niti na funkciju
u
točki
, jer je
i
. U tom slučaju možemo
koristiti više derivacije (vidi teorem 5.18).