Predznak derivacije nam također kazuje da li funkcija raste ili pada na nekom intervalu. Pojam rastuće i padajuće (monotone) funkcije dan je u definiciji 4.3. U dokazu sljedećeg teorema koristit ćemo Lagrangeov teorem srednje vrijednosti 5.9.
Neka je
rastuća i derivabilna na intervalu
. Trebamo
dokazati da je
za svaki
. Odaberimo
proizvoljni
.
Kako je
rastuća, za
vrijedi
pa je
S druge strane, za
Kako je
Točka
Dokažimo drugi smjer. Neka je
derivabilna na intervalu
i
neka je
za svaki
. Trebamo dokazati da je
rastuća po definiciji 4.3. Odaberimo dvije točke
, takve da je
. Po Lagrangeovom teoremu
5.9 postoji točka
takva da je
Kako je
Dok prve dvije tvrdnje teorema vrijede u jednom i u
drugom smjeru (ako i samo ako), zadnje dvije tvrdnje vrijede samo u
jednom smjeru. Kao primjer zašto kod tih tvrdnji ne vrijedi drugi
smjer, možemo uzeti funkciju
koja je strogo rastuća na
čitavom skupu
, ali je
.