×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Racionalni brojevi     OSNOVE MATEMATIKE     Aritmetika računala

Realni brojevi

U ovom poglavlju definirat ćemo skup realnih bojeva, navesti njegova osnovna svojstva, objasniti kako rade računala i definirati apsolutnu vrijednost realnog broja.

Kada racionalne brojeve nanosimo na brojevni pravac, budući je skup $\mathbb{Q}$ gust, mogli bismo pomisliti da njegovi elementi prekrivaju čitavi pravac. To, međutim, nije istina. Nanesemo li na brojevni pravac dijagonalu kvadrata sa stranicom dužine jedan, dobit ćemo po Pitagorinom poučku broj $\sqrt{2}$ .

Teorem 1.8   $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$ .

Dokaz.

Prvo uočimo da je kvadrat prirodnog broja $n$ paran ako i samo ako je $n$ paran: ako je $n=2p$ paran, tada je $n^2=(2p)^2=4n^2$ također paran, a ako je $n=2p-1$ neparan, tada je $n^2=(2p-1)^2=4(p^2-p)+1$ neparan.

Teorem ćemo dokazati koristeći tehniku kontradikcije ili protuslovlja. Naime, ako je $\tau(A\Rightarrow B)=\top$ i ako pokažemo da je $\tau(B)=\bot$ , tada prema tablici istinitosti za implikaciju iz poglavlja 1.1 slijedi $\tau(A)=\bot$ .

Ako je (A) $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$ , tada je (B) $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$ , pri čemu su $m$ i $n$ relativno prosti, odnosno ne mogu se dalje skratiti. Međutim, tada je $m^2=2n^2$ pa je prema prvom dijelu dokaza $m$ paran, odnosno $m=2p$ . Iz $(2p)^2=2n^2$ slijedi $2p^2=n^2$ pa je $n$ također paran. Dakle, $m$ i $n$ nisu relativno prosti pa je tvrdnja (B) neistinita. No, tada i tvrdnja (A) mora biti neistinita i teorem je dokazan.     

Q.E.D.

Definicija 1.17   Iracionalni brojevi su brojevi koji se nalaze na brojevnom pravcu, a nisu elementi skupa $\mathbb{Q}$ . Skup realnih brojeva $\mathbb{R}$ je unija skupa racionalnih brojeva i skupa iracionalnih brojeva.

Računske operacije na skupu realnih brojeva definirane su na poznati način te za njih vrijede svojstva slično kao u teoremu 1.3.

Sljedeći teorem navodimo bez dokaza.

Teorem 1.9   Vrijedi:

i)

skup $\mathbb{R}$ je gust, odnosno između svaka dva različita realna broja postoji beskonačno realnih brojeva;

ii)

skup $\mathbb{Q}$ je gust u skupu $\mathbb{R}$ , odnosno između svaka dva različita realna broja postoji beskonačno racionalnih brojeva;

iii)

skup $\mathbb{R}$ je gust u skupu $\mathbb{Q}$ , odnosno između svaka dva različita racionalna broja postoji beskonačno realnih brojeva;

iv)

skup $\mathbb{R}$ je neprebrojiv;

v)

elementi skupa $\mathbb{R}$ prekrivaju čitavi brojevni pravac.

Odnos između do sada opisanih skupova brojeva je sljedeći:

$$\underset{\displaystyle \textrm{diskretni}}{\underbrace{\mathbb{N... ...ystyle \textrm{gusti}}{\underbrace{\mathbb{Q} \quad \subset \quad \mathbb{R}}},$$

$$\underset{\displaystyle \textrm{prebrojivi}}{\underbrace{ \mathbb... ...t \quad \underset{\displaystyle \textrm{neprebrojiv}}{\underbrace{\mathbb{R}}.}$$

Poglavlja

• Aritmetika računala
• Apsolutna vrijednost

Racionalni brojevi     OSNOVE MATEMATIKE     Aritmetika računala