×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 OSNOVE MATEMATIKE     OSNOVE MATEMATIKE     Binarne relacije

Osnove matematičke logike

U ovom poglavlju definirat ćemo pojam suda, osnovne operacije sa sudovima, pojam predikata te vrste kvantifikatora.

Definicija 1.1   Sud je svaka smislena izjava koja može biti samo istinita ili neistinita, odnosno lažna.

Primjer 1.1   ''Je li danas četvrtak?'' nije sud nego pitanje. ''Jutro je pametnije od večeri'' nema smisla kao izjava, osim u prenesenom značenju, pa nije sud. ''Danas je četvrtak'' je sud koji je istinit ili neistinit, već prema danu u kojem se izgovara. ''Svaki brod je jedrenjak'' je neistinit sud.

Istinitost suda $A$ označimo s $\tau(A)$ . Pri tome $\tau(A)=\top$ znači $A$ je istinit, a $\tau(A)=\bot$ znači $A$ je neistinit. Osnovne operacije sa sudovima i njihove tablice istinitosti su:

• konjunkcija, $A\wedge B$ , [$A$ i $B$ ],

  $\tau(A)$	$\tau(B)$	$\tau(A\wedge B)$
  $\top$	$\top$	$\top$
  $\top$	$\bot$	$\bot$
  $\bot$	$\top$	$\bot$
  $\bot$	$\bot$	$\bot$

• disjunkcija, $A\vee B$ , [$A$ ili $B$ ],

  $\tau(A)$	$\tau(B)$	$\tau(A\vee B)$
  $\top$	$\top$	$\top$
  $\top$	$\bot$	$\top$
  $\bot$	$\top$	$\top$
  $\bot$	$\bot$	$\bot$

• ekskluzivna disjunkcija, $A\veebar B$ , [ili $A$ ili $B$ ],

  $\tau(A)$	$\tau(B)$	$\tau(A\veebar B)$
  $\top$	$\top$	$\bot$
  $\top$	$\bot$	$\top$
  $\bot$	$\top$	$\top$
  $\bot$	$\bot$	$\bot$

• implikacija, $A\Rightarrow B$ , [$A$ povlači $B$ ; iz $A$ slijedi $B$ ; $A$ je dovoljan uvjet za $B$ ; $B$ je nužan uvjet za $A$ ],

  $\tau(A)$	$\tau(B)$	$\tau(A\Rightarrow B)$
  $\top$	$\top$	$\top$
  $\top$	$\bot$	$\bot$
  $\bot$	$\top$	$\top$
  $\bot$	$\bot$	$\top$

• ekvivalencija, $A\Leftrightarrow B$ , [$A$ je ekvivalentno s $B$ ; $A$ je ako i samo ako je $B$ ; $A$ je nužan i dovoljan uvjet za $B$ ],

  $\tau(A)$	$\tau(B)$	$\tau(A\Leftrightarrow B)$
  $\top$	$\top$	$\top$
  $\top$	$\bot$	$\bot$
  $\bot$	$\top$	$\bot$
  $\bot$	$\bot$	$\top$

• negacija, $\neg A$ , [ne $A$ ; non $A$ ],

  $\tau(A)$	$\tau(\neg A)$
  $\top$	$\bot$
  $\bot$	$\top$

Za sudove $A$ , $B$ i $C$ vrijede DeMorganovi zakoni,

$$\neg (A\wedge B) =\neg A \vee \neg B,$$

$$\neg (A\vee B) =\neg A \wedge \neg B,$$

i zakoni distribucije,

$$A \wedge (B\vee C) =(A\wedge B) \vee (A\wedge C),$$

$$A \vee (B\wedge C) =(A\vee B) \wedge (A\vee C).$$

Zadatak 1.1   Dajte primjere za osnovne operacije sa sudovima i protumačite tablice istinitosti. Dajte primjere za DeMorganove zakone i zakone distribucije.

Definicija 1.2   Otvorena rečenica ili predikat je izjavna rečenica koja sadrži parametre i koja postaje sud kada parametri poprime određenu vrijednost.

Na primjer, predikat $x$ je rođen prije $y$ postaje sud kada su $x$ i $y$ dvije osobe. Predikat s dvije varijable označavamo s $P(x,y)$ .

Kod izražavanja pomoću predikata koristimo kvantifikatore:

• univerzalni, $(\forall x) P(x)$ , odnosno za svaki $x$ je $P(x)$ , i
• egzistencijalni, $(\exists x) P(x)$ , odnosno postoji $x$ takav da je $P(x)$ te $(\exists! x) P(x)$ , odnosno postoji točno jedan $x$ takav da je $P(x)$ .

Primjer 1.2  

a)

Neka je $P(x,y)=x \textit{ je rođen prije } y$ . Tada vrijedi

$$\tau[ (\forall x)(\exists y) \quad P(x,y)]=\top,$$

$$\tau[ (\forall y)(\exists x) \quad P(x,y)]=\top,$$

$$\tau[ (\forall y)(\exists! x) \quad P(x,y)]=\bot.$$

b)

Neka $P(x)$ glasi $x^2=4$ . Tada vrijedi

$$\tau[ (\forall x\in \mathbb{R}) \quad P(x)]=\bot,$$

$$\tau[ (\exists x\in \mathbb{R}) \quad P(x)]=\top,$$

$$\tau[ (\exists! x\in \mathbb{R}) \quad P(x)]=\bot,$$

$$\tau[ (\exists! x\in \mathbb{N}) \quad P(x)]=\top.$$

OSNOVE MATEMATIKE     OSNOVE MATEMATIKE     Binarne relacije