L'Hospitalovo pravilo i računanje limesa neodređenih
oblika
Kod računanja limesa može se pojaviti jedan od sedamneodređenih oblika,
Neodređeni oblici
i
rješavaju se pomoću
L'Hospitalovog pravila, a ostali neodređeni oblici se pomoću
odgovarajućih transformacija svode na jedan od ova dva oblika
(vidi primjer 5.11).
Teorem 5.10 [L'Hospitalovo pravilo]
Neka za funkcije
vrijedi
pri čemu je
. Neka su
i
neprekidne na skupu
i neprekidno
derivabilne na skupu
. Neka je
za svaki
. Ako postoji
,
pri čemu je
ili
ili
,
tada je
Dokaz.
Kako su
i
neprekidne, to je
pa je
Za svaki
funkcije
i
ispunjavaju
pretpostavke Cauchyjevog teorema 5.8 na intervalu
ako
je
, odnosno
ako je
. Po Cauchyjevom teoremu postoji
točka
, odnosno
, za koju je
Prijelaz na limes kada
i korištenje činjenice da
čim
, daje
i teorem je dokazan.
Q.E.D.
Važno je uočiti da pretpostavke L'Hospitalovog teorema traže samo da
limes
postoji, a ne da je
.
Ukoliko dodatno vrijedi
, odnosno
za svaki
, tada možemo iskoristiti teorem 4.3 pa dokaz
L'Hospitalovog teorema postaje još jednostavniji:
Napomena 5.1
i)
L'Hospitalovo pravilo vijedi i kada
ili
, za neodređeni oblik
te za limese
i derivacije slijeva ili zdesna.
ii)
L'Hospitalovo pravilo se može primijeniti više puta uzastopce
ako se ponovo dobije jedan od neodređenih oblika
ili
te ako nove funkcije ispunjavaju uvjete teorema
5.12 ili neke njegove varijante iz prethodne točke
(vidi primjer 5.11).
iii)
Ostali neodređeni oblici se pogodnim transformacijama mogu
svesti na jedan od oblika
ili
(vidi primjer 5.11).
Primjer 5.11
a)
Limes kojeg smo izračunali u primjeru 4.6 možemo još
jednostavnije izračunati pomoću L'Hospitalovog pravila:
b)
U sljedećem slučaju L'Hospitalovo pravilo moramo
primijeniti dva puta:
Iz ovog primjera indukcijom možemo zaključiti da
eksponencijalna funkcija
s bazom većom od 1 raste brže od bilo koje
potencije!
c)
U ovom primjeru potrebno je izvršiti nekoliko transformacija.
Izračunajmo
U zadnjoj jednakosti koristili smo neprekidnost funkcije
i
teorem 4.7 (vidi primjer 4.9). Izračunajmo limes u
eksponentu posebno:
Dakle, traženi limes je
d)
Sljedeći primjer također možemo primijeniti na široku klasu
zadataka: