×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Fermatov i Rolleov teorem     Teoremi diferencijalnog računa     L'Hospitalovo pravilo i računanje

Cauchyjev i Lagrangeov teorem srednje vrijednosti

Teorem 5.8   [Cauchy] Neka su funkcije $f$ i $g$ neprekidne na zatvorenom intervalu $[a,b]$ i derivabilne na otvorenom intervalu $(a,b)$ te neka je $g'(x)\neq 0$ za svaki $x\in(a,b)$ . Tada postoji točka $c\in(a,b)$ takva da je

$$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$$

Dokaz.

Pretpostavka $g'(x)\neq 0$ za svaki $x\in(a,b)$ povlači da je $g(a)\neq g(b)$ . Naime, ako bi vrijedilo $g(a)=g(b)$ , tada bi po Rolleovom teoremu postojala točka $x$ iz intervala $(a,b)$ za koju je $g'(x)=0$ . Sada možemo definirati funkciju

$$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)).$$

Funkcija $F$ je dobro definirana jer je nazivnik u gornjem izrazu različit od nule. Očito vrijedi $\mathcal{D}_F=\mathcal{D}_f \cap \mathcal{D}_g$ i $F(a)=F(b)=0$ . Nadalje, kako su $f$ i $g$ neprekidne na intervalu $[a,b]$ i derivabilne na intervalu $(a,b)$ , takva je i $F$ . Funkcija $F$ stoga ispunjava pretpostavke Rolleovog teorema 5.7 pa postoji točka $c\in(a,b)$ takva da je $F'(c)=0$ . Dakle,

$$0=F'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c),$$

i teorem je dokazan.     

Q.E.D.

Ako u Cauchyjevom teoremu odaberemo $g(x)=x$ , tada je $g'(x)=1$ i $g(b)-g(a)=b-a$ pa imamo sljedeći važan teorem.

Teorem 5.9   [Lagrange] Neka je funkcija $f$ neprekidna na zatvorenom intervalu $[a,b]$ i derivabilna na otvorenom intervalu $(a,b)$ . Tada postoji točka $c\in(a,b)$ takva da je

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Lagrangeov teorem ima zanimljivu geometrijsku interpretaciju koja je prikazana na slici 5.6. Vrijednost

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

je koeficijent smjera sekante koja prolazi kroz točke $A=(a,f(a))$ i $B=(b,f(b))$ , a vrijednost $f'(c)$ je koeficijent smjera tangente kroz točku $C=(c,f(c))$ . Lagrangeov teorem dakle znači da (ako su ispunjene pretpostavke) postoji točka u kojoj je tangenta paralelna sa sekantom. Zbog toga se često za oba teorema u ovom poglavlju koristi i naziv Teorem srednje vrijednosti. Primijetimo da Lagrangeov teorem samo kaže da točka $c$ postoji. To ne isključuje mogućnost da postoji više takvih točaka, kao što je slučaj na slici 5.6. Može li postojati beskonačno takvih točaka?

Slika 5.6: Geometrijska interpretacija Lagrangeovog teorema

Da bi bolje razumjeli Lagrangeov teorem, važno je uočiti zbog čega su važne pretpostavke da je $f$ neprekidna na intervalu $[a,b]$ i derivabilna na intervalu $(a,b)$ . Ukoliko $f$ nije neprekidna, tada je moguća situacija kao na slici 5.7 a) pa tražena točka $c$ ne postoji. Ukoliko je $f$ neprekidna ali nije derivabilna, tada je moguća situacija kao na slici 5.7 b) pa tražena točka $c$ opet ne postoji.

Slika 5.7: Pretpostavke Lagrangeovog teorema

Tvrdnju Lagrangeovog teorema možemo zapisati na još nekoliko načina. Često se koristi zapis

$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).$$

Uz oznaku

$$\vartheta \equiv \frac{c-a}{b-a}$$

vrijedi

$$c=a+\vartheta (b-a), \qquad 0<\vartheta <1,$$

pa se Lagrangeov teorem često zapisuje u obliku

$$f(b)-f(a)=f'(a+ \vartheta (b-a)) (b-a), \qquad 0<\vartheta <1.$$

Dalje, koristeći oznake $a=x$ i $b=x+ \Delta x$ možemo pisati

$$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x+\vartheta \Delta x)\Delta x, \qquad 0<\vartheta <1.$$

Fermatov i Rolleov teorem     Teoremi diferencijalnog računa     L'Hospitalovo pravilo i računanje