☰ matematika1

Pramen ravnina VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA Jednadžba pravca

Okomite ravnine

a)

Odredite jednadžbu ravnine $\pi_0$ koja prolazi točkom

i okomita je na ravnine

$\displaystyle \begin{matrix} \pi_1\quad \ldots & 3x & + & 2y & - & z & - & 4 & = & 0,\\ \pi_2\quad \ldots & x & + & y & + & z & - & 3 & = & 0. \end{matrix}$

b)

Odredite jednadžbu ravnine $\pi$ koja prolazi točkama

i okomita je na ravninu $\pi_1\ \ldots\ 4x-y+2z-7=0$ .

Rješenje.

a)

Označimo s $\mathbf{n}_i$ vektor normale ravnine $\pi_i$ za

. Ravnina $\pi_0$ je okomita na ravnine $\pi_1$ i $\pi_2$ , pa je $\mathbf{n}_0\perp \mathbf{n}_1, \mathbf{n}_2$ . Budući je vektorski produkt

$\displaystyle \mathbf{n}_1\times \mathbf{n}_2= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \ma... ...{k}\\ 3 & 2 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=3\mathbf{i}-4\mathbf{j}+\mathbf{k}$

vektor okomit na $\mathbf{n}_1$ i $\mathbf{n}_2$ , možemo uzeti $\mathbf{n}_0 =\mathbf{n}_1\times \mathbf{n}_2$ . Jednadžba ravnine $\pi_0$ kroz točku

s vektorom smjera $\mathbf{n}=\{3,-4,1\}$ , prema poglavlju

[M1, poglavlje 3.14], glasi

$\displaystyle 3(x-2)-4(y+1)+(z-1)=0,$

odnosno

$\displaystyle 3x-4y+z-11=0.$

b)

Neka je

proizvoljna točka u ravnini $\pi$ . Tada vektori

	$\displaystyle \overrightarrow{AP} =\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_A= (x-1)\mathbf{i}+(y-2)\mathbf{j}+(z-3)\mathbf{k},$
	$\displaystyle \overrightarrow{AB} =\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A= 2\mathbf{i}-2\mathbf{k}$

leže u ravnini $\pi$ . Vektor normale ravnine $\pi_1$ je $\mathbf{n}_1=\{4, -1,2\}$ . Budući je ravnina $\pi_1$ okomita na ravninu $\pi$ , vektori $\overrightarrow{AP}$ , $\overrightarrow{AB}$ i $\mathbf{n}_1$ su komplanarni. Stoga je, prema

[M1, poglavlje 3.11], njihov mješoviti produkt jednak nuli, odnosno

$\displaystyle \begin{vmatrix}x-1 & y-2 & z-3 \\ 2 & 0 & -2 \\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 0.$

Odatle slijedi

$\displaystyle (x-1)(0-2)-(y-2)(4+8)+(z-3)(-2-0)=0$

pa je ravnina $\pi$ dana jednadžbom

$\displaystyle x+6y+z-16=0.$

Pramen ravnina VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA Jednadžba pravca