×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Tok funkcije II     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tok funkcije IV


Tok funkcije III

Odredite tok i skicirajte graf funkcije $ f$ zadane s

$\displaystyle f(x)=\frac{\ln 2x}{\sqrt x}.$    

Rješenje. Koristeći upute dane u [*] [M1, poglavlje 5.9], ispitujemo sljedeće:

  1. Područje definicije

    Domena funkcije $ f$ je $ \mathcal{D}(f)=\langle 0, \infty\rangle$ .

  2. Parnost

    Područje definicije nije simetrično pa nema smisla ispitivati parnost.

  3. Periodičnost

    Funkcija $ f$ je elementarna i ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija pa nije periodična.

  4. Nul-točke

    Rješavanjem jednadžbe $ f(x)=0$ dobivamo da je $ x_1=\frac{1}{2}$ nul-točka funkcije $ f$ .

  5. Asimptote
    a)
    Vertikalne asimptote

    Domena funkcije ima otvoren lijevi rub i vrijedi

    $\displaystyle \lim_{x\to 0+0}f(x)=\lim_{x\to 0+0}\ln 2x\cdot\frac{1}{\sqrt x}=(-\infty)\cdot(+\infty)=-\infty.$    

    Stoga je pravac $ x=0$ desna vertikalna asimptota funkcije $ f$ .

    b)
    Horizontalne asimptote

    Postojanje horizontalnih asimptota ima smisla provjeravati samo na desnoj strani. Primjenom L'Hospitalovog pravila dobivamo

    $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln 2x}{\sqrt x}...
...1}{x}}{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt x}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2}{\sqrt x}=0.$    

    Dakle, pravac $ y=0$ je desna horizontalna asimptota.

    c)
    Kose asimptote

    Postojanje kose asimptote također ima smisla provjeravati samo na desnoj strani. Funkcija nema kosu asimptotu na desnoj strani, jer ima horizontalnu.

  6. Ekstremi

    Prva derivacija je jednaka

    $\displaystyle f^\prime(x)=\frac{\displaystyle\frac{1}{x}\cdot \sqrt x-\ln 2x\cdot\frac{1}{2\sqrt x}}{x}=\frac{2-\ln 2x}{2x\sqrt x}.$    

    Vrijedi

    $\displaystyle f^\prime(x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 2-\ln 2x =0 \quad\Leftrightarrow\quad 2x =e^2 \quad\Leftrightarrow\quad x =\frac{e^2}{2}.$

    Dakle, $ x_2=\frac{e^2}{2}$ je stacionarna točka funkcije $ f$ . Druga derivacija funkcije $ f$ glasi

    $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{\displaystyle-\frac{1}{x} \cdot 2x\sqrt...
...qrt x}{4x^3}=\frac{3\ln 2x-8}{4x^{\frac{5}{2}}}=\frac{3\ln 2x-8}{4x^2\sqrt{x}}.$    

    Budući je $ f''(\frac{e^2}{2})<0$ , funkcija $ f$ ima lokalni maksimum u točki $ x_2=\frac{e^2}{2}$ i vrijedi $ f(x_2)=\frac{2\sqrt 2}{e}$ .

  7. Intervali monotonosti

    Zbog toga što područje definicije funkcije $ f$ sadrži samo pozitivne realne brojeve

    $\displaystyle f'(x)>0 \quad\Leftrightarrow\quad 2-\ln 2x>0 \quad\Leftrightarrow\quad x<\frac{e^2}{2}.$

    Stoga je funkcija $ f$ strogo rastuća na intervalu $ \langle0,\frac{e^2}{2}\rangle$ , a strogo padajuća na $ \langle \frac{e^2}{2},+\infty\rangle$ .

  8. Intervali zakrivljenosti

    Vrijedi

    $\displaystyle f''(x)>0 \quad\Leftrightarrow\quad 3\ln 2x-8>0 \quad\Leftrightarrow\quad x>\frac{e^{\frac{8}{3}}}{{2}}$

    pa je funkcija $ f$ konkavna na intervalu $ \langle0,\frac{1}{2}\,e^{\frac{8}{3}}\rangle$ , a konveksna na intervalu $ \langle\frac{1}{2}\,e^{\frac{8}{3}},+\infty\rangle$ .

  9. Točke infleksije

    Rješenje jednadžbe $ f^{\prime\prime}(x)=0$ je $ x_3=\frac{e^{\frac{8}{3}}}{{2}}$ i $ f''$ mijenja predznak u toj točki. Stoga iz [*] [M1, teorem 5.17] slijedi da funkcija $ f$ ima točku infleksije u $ x_3=\frac{e^{\frac{8}{3}}}{{2}}$ .

  10. Graf funkcije

    Graf funkcije je prikazan na slici 5.7.

Slika 5.7: Graf funkcije $ \displaystyle f(x)=\frac {\ln 2x}{\sqrt x}$ .
\begin{figure}
% latex2html id marker 15835
\begin{center}
\epsfig{file=derivacije/zad523.eps, width=8.6cm}\end{center}\end{figure}


Tok funkcije II     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tok funkcije IV