×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Tok funkcije I     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tok funkcije III

Tok funkcije II

Ispitajte tok i skicirajte graf funkcije $f$ zadane s

$$f(x)=\left(1-x^2\right)e^{-x}.$$

Rješenje. Prema postupku opisanom u [M1, poglavlje 5.9] ispitujemo sljedeće:

1. Područje definicije

   Područje definicije zadane funkcije je $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$ .

2. Parnost

   Funkcija $f$ nije ni parna ni neparna jer je

   $$f(-x)=(1-x^2) e^x.$$

3. Periodičnost

   Funkcija nije periodična jer je elementarna i ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.

4. Nul-točke

   Rješavanjem jednadžbe $f(x)=0$ dobivamo da su nul-točke $x_1=-1$ i $x_2=1$ .

5. Asimptote

   a)

   Vertikalne asimptote

   Funkcija $f$ nema vertikalnih asimptota, jer je $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$ .

   b)

   Horizontalne asimptote

   Na lijevoj strani vrijedi

   $$\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\left(1-x^2\right)e^{-x}=-\infty$$

   
   

   pa funkcija nema horizontalnu asimptotu na lijevoj strani. Korištenjem L'Hospitalovog pravila izračunamo da je

   $$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{1-x^2}{e^x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{-2x}{e^x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{-2}{e^x}=0$$

   
   

   pa je pravac $y=0$ horizontalna asimptota na desnoj strani.

   c)

   Kose asimptote

   Na lijevoj strani primjenom L'Hospitalovog pravila dobivamo da je

   $$\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{1-x^2}... ...im_{x\to -\infty}\frac{-2x}{e^x+xe^x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{-2}{2e^x+xe^x}=0$$

   pa funkcija $f$ nema kosu asimptotu u lijevoj strani. Funkcija $f$ nema kosu asimptotu niti na desnoj strani, jer u toj strani ima horizontalnu asimptotu.

6. Ekstremi

   Prva derivacija glasi

   $$f^\prime(x)=-2xe^{-x}-\left(1-x^2\right)e^{-x} =e^{-x}(x^2-2x-1),$$

   
   
   pa se $f^\prime(x)=0$ svodi na $x^2-2x-1=0$ . Stoga su stacionarne točke funkcije $f$

   $$x_3=1-\sqrt2\quad\textrm{ i }\quad x_4=1+\sqrt2.$$

   
   
   Druga derivacija je jednaka

   $$f^{\prime\prime}(x)=-e^{-x}\left(x^2-2x-1\right)+e^{-x}\left(2x-2\right)=e^{-x}\left(4x-x^2-1\right).$$

   
   
   Budući je $f^{\prime\prime}\left(1-\sqrt2\right)<0$ , funkcija $f$ ima u točki $x_3=1-\sqrt2$ lokalni maksimum, a kako je $f^{\prime\prime}\left(1+\sqrt2\right)>0$ , funkcija $f$ ima u točki $x_4=1+\sqrt2$ lokalni minimum. Vrijedi
   $$f\left(1-\sqrt2 \right)\approx f(-0.41)\approx 1.23$$   i$$\quad f\left(1+\sqrt2 \right)\approx f(2.41)\approx -0.43.$$

7. Intervali monotonosti

   Iz predznaka prve derivacije slijedi da je $f$ strogo padajuća na intervalu $\langle1-\sqrt2,1+\sqrt2\rangle$ , dok je izvan njega strogo rastuća.

8. Intervali zakrivljenosti

   Iz predznaka druge derivacije slijedi da je funkcija $f$ konveksna na $\langle2-\sqrt3, 2+\sqrt{3} \rangle$ , a inače konkavna.

9. Točke infleksije

   Jednadžba $f^{\prime\prime}(x)=0$ se svodi na $x^2-4x+1=0$ pa su njena rješenja

   $$x_5=2-\sqrt3\quad\textrm{ i } \quad x_6=2+\sqrt3.$$

   
   
   Kako je $f^{\prime\prime\prime}\left(2\pm \sqrt3 \right)\neq 0$ , funkcija $f$ u točkama $x_{5,6}=2\pm \sqrt3$ ima točke infleksije i vrijedi
   $$f\left(2-\sqrt3 \right)\approx f(0.27)\approx 0.7$$   i$$\quad f\left(2+\sqrt3 \right)\approx f(3.73)\approx -0.31.$$

10. Graf funkcije

    Graf funkcije je prikazan na slici 5.6.

Slika 5.6: Graf funkcije $f(x)=\left (1-x^2\right )e^{-x}$ .

Tok funkcije I     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tok funkcije III