×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Točke infleksije     DERIVACIJE I PRIMJENE     Geometrijski ekstrem I


Točke infleksije i intervali zakrivljenosti

Odredite intervale konveksnosti, konkavnosti i točke infleksije funkcije

$\displaystyle f(x)=e^{-x^2}.$    

Rješenje. Intervale konveksnosti i konkavnosti odredit ćemo pomoću [*] [M1, teorem 5.15]. Iz

$\displaystyle f'(x)=-2xe^{-x^2}$    

dobivamo

$\displaystyle f''(x)=2\left(2x^2-1\right) e^{-x^2}.$    

Iz $ f''(x)=0$ slijedi

$\displaystyle 2x^2-1=0.$    

jer je $ 2e^{-x^2} \neq 0$ , za svaki $ x\in \mathbb{R}$ . Rješenja ove jednadžbe su

$\displaystyle x_1=-\frac{\sqrt2}{2}$   i$\displaystyle \qquad x_2=\frac{\sqrt2}{2}.$    

Štoviše, zbog $ 2e^{-x^2} > 0$ je nejednadžba $ f''(x)>0$ ekvivalentna s $ 2x^2-1>0$ . Dakle, za $ \vert x\vert>\frac{1}{\sqrt{2}}$ vrijedi $ f''(x)>0$ , pa je funkcija $ f$ strogo konveksna na skupu $ \langle-\infty,-\frac{\sqrt 2}{2}\rangle\cup\langle\frac{\sqrt 2}{2},+\infty \rangle$ , dok za $ \vert x\vert<\frac{1}{\sqrt{2}}$ vrijedi $ f''(x)<0 $ , pa je funkcija $ f$ strogo konkavna na intervalu $ \langle-\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt 2}{2}\rangle$ . Budući je

$\displaystyle f\left(-\frac{\sqrt 2}{2}\right)=\frac{\sqrt e}{e}$   i$\displaystyle \quad f\left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)=\frac{\sqrt e}{e},$

prema [*] [M1, teorem 5.16], točke infleksije zadane funkcije su

$\displaystyle T_1\left(-\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt e}{e}\right)$   i$\displaystyle \quad T_2\left(\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt e}{e}\right).$    


Točke infleksije     DERIVACIJE I PRIMJENE     Geometrijski ekstrem I