Logaritamsko deriviranje

Rješenje. Derivacije zadanih funkcija računamo postupkom logaritamskog deriviranja iz

[M1, poglavlje 5.1.6].

Iz svojstava logaritamske funkcije slijedi

$\displaystyle \ln f(x)=x\ln (\ln x),$

odakle deriviranjem dobivamo

$\displaystyle \frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)$	$\displaystyle =(x)'\ln (\ln x)+x [\ln (\ln x)]',$
$\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}$	$\displaystyle =1\cdot\ln (\ln x)+x \cdot\frac{1}{\ln x}\cdot( \ln x)',$
$\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}$	$\displaystyle =\ln (\ln x)+x \cdot\frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x}.$

Sada je

$\displaystyle f'(x)$	$\displaystyle =f(x)\left[\ln (\ln x)+\frac{1}{\ln x}\right],$
$\displaystyle f'(x)$	$\displaystyle =(\ln x)^x\left[\ln (\ln x)+\frac{1}{\ln x}\right].$

Zbog svojstava logaritamske funkcije je

$\displaystyle \ln f(x)=\sin x \ln\left(\cos x\right)-\ln(x^2+3).$

Deriviranjem prethodne jednakosti dobivamo

$\displaystyle \frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)$	$\displaystyle =(\sin x)' \ln(\cos x)+ \sin x \,[\ln(\cos x)]'-[\ln(x^2+3)]',$
$\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}$	$\displaystyle =\cos x \ln\left(\cos x\right)+ \sin x \cdot\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)-\frac{1}{x^2+3} \cdot 2x.$

Sada je

$\displaystyle f'(x)=\frac{(\cos x)^{\sin x}}{x^2+3} \left[\cos x \ln(\cos x)-\frac{\sin^2 x}{\cos x}- \frac{2x}{x^2+3}\right].$

Vrijedi

$\displaystyle f'(x)=\left(e^{\cos x}\right)'+\left[(\cos x )^x\right]'.$

Budući je

$\displaystyle \left(e^{\cos x}\right)'=e^{\cos x}\cdot(\cos x)'= e^{\cos x}\cdot(-\sin x),$

dovoljno je logaritamski derivirati funkciju $g(x)=(\cos x )^x$ . Iz

$\displaystyle \ln g(x)=x\ln(\cos x),$

deriviranjem slijedi

$\displaystyle \frac{1}{g(x)}\cdot g'(x)$	$\displaystyle =(x)'\ln(\cos x)+x[\ln(\cos x)]',$
$\displaystyle \frac{g'(x)}{g(x)}$	$\displaystyle =\ln(\cos x)+x\cdot\frac{1}{\cos x}(-\sin x),$
$\displaystyle g'(x)$	$\displaystyle =g(x)[\ln(\cos x)-x\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x],$
$\displaystyle g'(x)$	$\displaystyle =(\cos x )^x[\ln(\cos x)-x\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x].$

Dakle,

$\displaystyle f'(x)=e^{\cos x}\cdot(-\sin x)+(\cos x )^x[\ln(\cos x)-x\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x].$