×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Potencije     Derivacija     Diferencijal


Logaritamsko deriviranje

Logaritamsko deriviranje koristimo za deriviranje funkcija oblika

$\displaystyle y=h(x)=f(x)^{g(x)}.
$

U onim točkama u kojima derivacija postoji vrijedi

$\displaystyle \big(f(x)^{g(x)}\big)' =f(x)^{g(x)} \bigg(g'(x)\ln ( f(x) )+ g(x)
\frac{f'(x)}{f(x)}\bigg).
$

Postupak kojim se dolazi do derivacije sastoji se od tri koraka koji se lako pamte:

Ovaj jednostavan postupak ilustrirat ćemo sljedećim primjerom.

Primjer 5.7   Izračunajmo derivaciju funkcije

$\displaystyle y=(1+x)^{\frac{1}{x}}.
$

Logaritmiranje daje

$\displaystyle \ln y=\frac{1}{x}\ln (1+x).
$

Deriviranje obaju strana daje

$\displaystyle \frac{1}{y}y'=-\frac{1}{x^2}\ln(1+x)+\frac{1}{x} \cdot\frac{1}{1+x}\cdot 1,
$

pri čemu smo $ \ln y$ derivirali po teoremu 5.4. Konačno, sređivanje ove jednakosti daje

$\displaystyle y'=y \bigg(-\frac{1}{x^2}\ln(1+x) + \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{1+x...
...x)^{\frac{1}{x}} \frac{1}{x}\bigg(-\frac{1}{x}\ln(1+x) +
\frac{1}{1+x}\bigg).
$

Zadatak 5.3   Izračunajte derivacije funkcija

$\displaystyle y=x^x,\qquad y=x^{x^x}.
$