×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Logaritamsko deriviranje     DERIVACIJE I PRIMJENE     Derivacije višeg reda

Deriviranje implicitno zadane funkcije

Odredite $y'$ ako je $y$ funkcija od $x$ i vrijedi:

a)

$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$$ ,

b)

$xy+\sin y=e^{x+y}$ .

Rješenje.

a)

Budući je $x$ varijabla, $y$ funkcija ovisna o $x$ te $a$ konstanta, primjenom pravila za deriviranje kompozicije funkcija iz [M1, teorem 5.4] dobivamo

$$\left(x^{\frac{2}{3}}\right)'+\left(y^{\frac{2}{3}}\right)' =\left(a^{\frac{2}{3}}\right)',$$

$$\frac{2}{3}\,x^{-\frac{1}{3}}+\frac{2}{3}\,y^{-\frac{1}{3}}\cdot y' =0,$$

$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\frac{y'}{\sqrt[3]{y}} =0,$$

odakle slijedi

$$y'=-\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}}.$$

b)

Deriviranjem zadanog izraza, prema pravilu za deriviranje kompozicije funkcija, dobivamo

$$(x)'\cdot y+x\cdot y' + \cos y\cdot y' = e^{x+y}(x+y)',$$

$$y+x y' + \cos y\cdot y' = e^{x+y}(1+y'),$$

odakle je

$$y' \left(x+\cos y-e^{x+y}\right) = e^{x+y}-y,$$

odnosno

$$y' = \frac{e^{x+y}-y}{x+\cos y-e^{x+y}}.$$

Logaritamsko deriviranje     DERIVACIJE I PRIMJENE     Derivacije višeg reda