×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Asimptote iracionalne funkcije     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Zadaci za vježbu

Asimptote funkcije s eksponencijalnim izrazom

Odredite asimptote funkcije $f$ zadane s

$$f(x)= x e^{\frac{1}{x^2-1}}.$$

Rješenje. Područje definicije funkcije $f$ je $\mathbb{R}\backslash \{-1,1\}$ . Stoga funkcija može imati vertikalne asimptote samo u točkama $x_1=-1$ i $x_2=1$ . Provjerimo prvo točku $x_1$ . Prema zadatku (4.8) je

$$\lim_{x\to -1+0} xe^{\frac{1}{x^2-1}} =0 \quad\textrm{i}\quad \lim_{x\to -1-0} xe^{\frac{1}{x^2-1}} =-\infty,$$

odakle slijedi da je pravac $x=-1$ vertikalna asimptota funkcije $f$ s lijeve strane. Na isti način za točku $x_2$ dobivamo

$$\lim_{x\to 1+0} xe^{\frac{1}{x^2-1}} =+\infty \quad\textrm{i}\quad \lim_{x\to 1-0} xe^{\frac{1}{x^2-1}} = 0$$

pa je pravac $x=1$ vertikalna asimptota funkcije $f$ s desne strane.

Nadalje, zbog

$$\lim_{x\to \pm\infty}f(x)= \lim_{x\to \pm\infty} xe^{\frac{1}{x^2... ...} x\cdot \lim_{x\to \pm\infty} e^{\frac{1}{x^2-1}} =\pm\infty\cdot 1=\pm\infty,$$

funkcija $f$ nema horizontalnu asimptotu ni na lijevoj ni na desnoj strani.

Potražimo kose asimptote. Koeficijent smjera kose asimptote $k$ je

$$k=\lim_{x\to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \pm \infty} \frac{xe^{\frac{1}{x^2-1}}}{x} =\lim_{x\to \pm \infty} e^{\frac{1}{x^2-1}}=1.$$

Za odsječak na $y$ -osi, $l$ , vrijedi

$$l=\lim_{x\to \pm \infty}\left[f(x)-kx\right] = \lim_{x\to \pm \infty}x\left[e^{\frac{1}{x^2-1}}-1\right]= \beg... ...atrix}\displaystyle\frac{1}{x^2-1}=t\\ x\to \pm \infty\\ t\to 0+0 \end{Bmatrix}$$

$$=\lim_{t\to 0+0}\sqrt{1+\frac{1}{t}}\cdot(e^t-1)=\lim_{t\to 0+0}\sqrt{1+\frac{1}{t}}\cdot\frac{e^t-1}{t}\cdot t$$

$$=\lim_{t\to 0+0}\sqrt{(t+1)\, t}\cdot\lim_{t\to 0+0}\frac{e^t-1}{t}= 0\cdot e=0,$$

gdje smo pri računanju limesa koristili [M1, teorem 4.3] i zadatak (4.15) pod b). Slijedi da je pravac $y=x$ kosa asimptota funkcije $f$ na obje strane. Graf funkcije prikazan je na slici 4.7.

Slika 4.7: Graf funkcije $f(x)= \sqrt {4x^2+x}$ .

Asimptote iracionalne funkcije     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Zadaci za vježbu