×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Svojstva neprekidnih funkcija     Neprekidnost     Asimptote


Vrste prekida

Razlikujemo tri vrste prekida funkcije: uklonjivi prekid, prekid prve vrste i prekid druge vrste.

Definicija 4.7   Neka je funkcija $ f$ definirana u nekoj okolini $ (x_0-\varepsilon ,x_0+\varepsilon )$ , osim možda u samoj točki $ x_0$ . Funkcija $ f$ ima uklonjivi prekid u točki $ x_0$ ako je

$\displaystyle \lim_{x\to x_0-0}f(x)=\lim_{x\to x_0+0}f(x)=a\in\mathbb{R},
$

pri čemu $ f$ ili nije definirana u točki $ x_0$ ili je $ f(x_0)\neq a$ . Prekid se ukloni tako što se definira $ f(x_0)=a$ .

Funkcija $ f$ ima prekid prve vrste u točki $ x_0$ ako su limesi slijeva i zdesna u točki $ x_0$ konačni i različiti.

Funkcija $ f$ ima prekid druge vrste u točki $ x_0$ ako je barem jedan od limesa slijeva ili zdesna beskonačan ili ne postoji.

Na primjer, funkcija $ f(x)=x^2/x$ ima uklonjivi prekid u točki $ x=0$ . Prekid se ukloni tako što definiramo $ f(0)=0$ , u kojem slučaju dobijemo neprekidnu funkciju $ f(x)=x$ . Funkcija $ \mathop{\mathrm{sign}}\nolimits (x)$ (slika 4.10) ima u točki $ x=0$ prekid prve vrste. Naime, u toj točki postoje limesi slijeva i zdesna koji su konačni, ali različiti. Funkcije $ x^{-1}$ (slika 4.12), $ x^{-2}$ , $ x^{-3}$ , ..., sve imaju prekid druge vrste u točki $ x=0$ , jer su limesi s obje strane beskonačni.

Primjer 4.10   Navodimo dva zanimljiva primjera prekida druge vrste.
a)
Funkcija

$\displaystyle f(x)=\begin{cases}0, & x\leq 0\\
\sin \frac{1}{x}, & x>0
\end{cases}$

ima prekid druge vrste u točki $ x=0$ (vidi sliku 4.15). Naime, funkcija $ \sin \frac {1}{x}$ sve brže titra kada $ x\to 0+0$ pa limes zdesna ne postoji (u svakom, ma koliko malom, intervalu oko nule funkcija poprimi sve vrijednosti između $ -1$ i $ 1$ ).
b)
Funkcija $ f:\mathbb{R}\to \{0,1\}$ definirana s

$\displaystyle f(x)=\begin{cases}1, & x\in\mathbb{Q}\\
0, & x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}$

ima u svakoj točki prekid druge vrste. Naime, kako su po teoremu 1.9 ii) i iii) skupovi $ \mathbb{R}$ i $ \mathbb{Q}$ gusti jedan u drugom, funkcija nema limes ni u jednoj točki (u svakom, ma koliko malom, intervalu oko bilo koje točke funkcija beskonačno puta poprimi vrijednost 0 i vrijednost $ 1$ ).

Slika 4.15: Funkcija $ \sin \frac {1}{x}$
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/sinxx.eps,width=9.6cm}
\end{center}\end{figure}


Svojstva neprekidnih funkcija     Neprekidnost     Asimptote