×   HOME
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika1
Uređeni skupovi     OSNOVE MATEMATIKE     Teorem o inverznoj funkciji


Funkcije

U ovom poglavlju dat ćemo osnovne pojmove vezane uz funkcije i klasifikaciju funkcija, dokazati važan teorem o inverznoj funkciji te definirati ekvipotentnost skupova i beskonačne skupove.

Definicija 1.7   Funkcija ili preslikavanje iz skupa $ X$ u skup $ Y$ je svako pravilo $ f$ po kojemu se elementu $ x\in X$ pridružuje jedinstveni element $ y\in Y$ . Koristimo oznake

$\displaystyle % f:X\to Y \quad \textrm{ili}\quad y=f(x). $

Skup $ X$ je područje definicije ili domena funkcije $ f$ , skup $ Y$ je područje vrijednosti ili kodomena funkcije $ f$ , $ x$ je nezavisna varijabla ili argument funkcije $ f$ , a $ y$ je zavisna varijabla funkcije $ f$ . Skup svih vrijednosti nezavisne varijable $ x$ za koje je funkcija doista definirana još označavamo s $ D_f$ , a skup svih vrijednosti koje poprima zavisna varijabla označavamo s $ R_f$ i zovemo slika funkcije,

$\displaystyle % R_f=\{ y\in Y: (\exists x\in D_f) \textrm{ takav da je } y=f(x)\}\subseteq Y. $

Nakon što smo definirali novi matematički objekt, u ovom slučaju funkciju, potrebno je definirati kada su dva objekta jednaka.

Definicija 1.8   Funkcije $ f$ i $ g$ su jednake, odnosno $ f=g$ , ako vrijedi

$\displaystyle % D_f=D_g\quad \wedge \quad f(x)=g(x) \textrm{ za } \forall x\in D_f. $

Na primjer, funkcije $ f(x)=x$ i $ g(x)=\displaystyle \frac{x^2}{x}$ nisu jednake jer je $ D_f=\mathbb{R}$ , dok je $ D_g=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ .

Definicija 1.9   Kompozicija funkcija $ f:X\to Y$ i $ g:V\to Z$ , gdje je $ R_{f}\subseteq V$ , je funkcija $ h:X\to Z$ definirana s $ h(x)=g(f(x))$ . Još koristimo oznaku $ h=g\circ f$ .

Kompozicija funkcija je asocijativna, odnosno

$\displaystyle % h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f. $

Zaista, za proizvoljni $ x$ za koji je kompozicija definirana vrijedi

$\displaystyle (h\circ(g\circ f))(x)$ $\displaystyle =h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)))$    
  $\displaystyle =(h\circ g)(f(x))=((h\circ g)\circ f)(x)$    

pa tvrdnja slijedi iz definicije jednakosti funkcija 1.8.

Definicija 1.10   Ako je $ D_g\subseteq D_f$ i $ g(x)=f(x)$ za svaki $ x\in D_g$ , funkcija $ g$ je restrikcija ili suženje funkcije $ f$ , a funkcija $ f$ je ekstenzija ili proširenje funkcije $ g$ .

Na primjer, funkcija $ g(x)=x^2/x$ je restrikcija funkcije $ f(x)=x$ na skup $ D_g=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ , odnosno $ g=f\mid_{D_g}$ , a funkcija $ f$ je ekstenzija funkcije $ g$ . Primijetimo da je restrikcija uvijek jedinstvena, dok ekstenzija to nije. Tako je u ovom slučaju i funkcija $ f_1:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}$ definirana s

$\displaystyle % f_1(x)=\begin{cases}x,& \text{za $x\neq 0$} \\ 1, & \text{za $x=0$} \end{cases}$

jedna od beskonačno mogućih ekstenzija funkcije $ g$ .


Poglavlja

Uređeni skupovi     OSNOVE MATEMATIKE     Teorem o inverznoj funkciji