×   HOME
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika1
Vektorsko-vektorski produkt     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Ravnina


Pravac

Pravac $ p$ je u prostoru $ {\cal E}$ zadan s dvije različite točke $ T_1$ i $ T_2$ . Za svaku točku $ T$ koja leži na pravcu $ p$ vektori $ \overrightarrow{T_1T_2}$ i $ \overrightarrow{T_1T}$ su kolinearni, odnosno postoji $ t\in \mathbb{R}$ takav da je (slika 3.15)

$\displaystyle % \overrightarrow{T_1T}=t\,\overrightarrow{T_1T_2}. $

Uz oznake

$\displaystyle % \mathbf{s}=\overrightarrow{T_1T_2}, \qquad \mathbf{r}_1=\overrightarrow{OT_1}, \qquad \mathbf{r}=\overrightarrow{OT}, $

imamo vektorsku jednadžbu pravca

$\displaystyle % \mathbf{r}-\mathbf{r}_1=t\, \mathbf{s},\qquad t\in \mathbb{R}, $

odnosno

$\displaystyle \mathbf{r}=\mathbf{r}_1+t\, \mathbf{s},\qquad t\in \mathbb{R}.$ (3.5)

Vektor $ \mathbf{s}$ je vektor smjera pravca $ p$ . Za vektor smjera možemo uzeti i bilo koji drugi vektor koji je kolinearan s vektorom $ \mathbf{s}$ .

Slika 3.15: Pravac u prostoru
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/jprav.eps,width=9.6cm}\end{center}\end{figure}

Neka je u koordinatnom sustavu $ (O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$

$\displaystyle % \mathbf{s}=\begin{bmatrix}a\\ b\\ c \end{bmatrix},\qquad \mathb... ...\\ z_1 \end{bmatrix},\qquad \mathbf{r}=\begin{bmatrix}x\\ y\\ z \end{bmatrix}. $

Tada vektorska jednadžba pravca (3.5) prelazi u parametarsku jednadžbu pravca

\begin{displaymath}\begin{cases}x=x_1+a\, t\\ y=y_1+b\, t\\ z=z_1+c\, t \end{cases} \qquad t\in \mathbb{R}.\end{displaymath} (3.6)

Eliminacijom parametra $ t$ iz jednadžbe (3.6) dobivamo kanonsku (simetričnu) jednadžbu pravca

$\displaystyle \frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}.$ (3.7)

U gornjoj formuli nazivnici ne označavaju dijeljenje nego skalarne komponente vektora smjera pa ih pišemo i onda kada su jednaki nula.

Primjer 3.9   Jednadžba $ x$ -osi glasi

\begin{displaymath}% \begin{cases}x=t\\ y=0\\ z=0 \end{cases}\qquad t\in \mathbb{R}, \end{displaymath}

odnosno

$\displaystyle % \frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{0}. $

Naime, $ x$ -os prolazi ishodištem $ O=(0,0,0)$ , a vektor smjera joj je $ \mathbf{i}=\{1,0,0\}$ . No,

$\displaystyle % \frac{x+5}{\sqrt{2}}=\frac{y}{0}=\frac{z}{0}, $

je također jednadžba $ x$ -osi.

U formuli (3.7) je zapisan sustav od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice,

$\displaystyle b\, (x-x_1)$ $\displaystyle =a\, (y-y_1)$    
$\displaystyle c\, (x-x_1)$ $\displaystyle =a\, (z-z_1)$ (3.8)
$\displaystyle c\, (y-y_1)$ $\displaystyle =b\, (z-z_1).$    

Ove jednadžbe definiraju pravac pa sustav ima jednoparametarsko rješenje. Stoga su prema Kronecker-Capellijevom teoremu 2.5 jednadžbe linearno zavisne, a sustav je ekvivalentan sustavu od dvije linearno nezavisne jednadžbe koje odaberemo među njima.

Dakle, pravac možemo zadati s dvije linearno nezavisne jednadžbe s tri nepoznanice,

$\displaystyle A_1x+B_1y+C_1z+D_1$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle A_2x+B_2y+C_2z+D_2$ $\displaystyle =0,$ (3.9)

od kojih svaka predstavlja jednu ravninu u prostoru (poglavlje 3.14). Iz sustava (3.9) eliminacijom jedne od varijabli dobijemo kanonsku jednadžbu (3.7), iz koje onda lako dobijemo parametarsku jednadžbu pravca (3.6).

Primjer 3.10   Nađimo kanonsku i parametarsku jednadžbu pravca zadanog s (slika 3.16)

$\displaystyle 2x+y+z+1$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle x-y+2z-1$ $\displaystyle =0.$    

Kad od prve jednadžbe oduzmemo dvostruku drugu dobijemo $ 3y-3z+3=0$ , odnosno

$\displaystyle % \frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}\qquad \textrm{ili}\qquad \frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}. $

Kada zbrojimo prvu i drugu jednadžbu dobijemo $ 3x+3z=0$ , odnosno

$\displaystyle % \frac{x}{1}=\frac{z}{-1}\qquad \textrm{ili}\qquad \frac{x}{-1}=\frac{z}{1}. $

Stoga kanonska jednadžba pravca glasi

$\displaystyle % \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}. $

Pravac prolazi točkom $ T=(0,-1,0)$ i ima vektor smjera $ \mathbf{s}=\{-1,1,1\}$ . Parametarska jednadžba glasi

\begin{displaymath}% \begin{cases}x=-t\\ y=-1+t\\ z=t \end{cases}\qquad t\in \mathbb{R}. \end{displaymath}

Slika 3.16: Pravac kao presjek ravnina
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/prav.eps,width=10.8cm}\end{center}\end{figure}

Primjer 3.11   Ako pravac $ p$ leži u $ x$ -$ y$ ravnini, tada svi izrazi koji sadrže varijablu $ z$ u (3.6), (3.7) i (3.8) nestaju. Posebno, (3.8) prelazi u

$\displaystyle % b\, (x-x_1)=a\, (y-y_1). $

Ako je $ a\neq 0$ , imamo

$\displaystyle % y-y_1=\frac{b}{a}\, (x-x_1). $

Označimo li koeficijent smjera s $ k=\frac{b}{a}$ , dobijemo jednadžbu pravaca kroz točku $ T_1=(x_1,y_1)$ s koeficijentom smjera $ k$ ,

$\displaystyle % y-y_1=k\, (x-x_1). $

Ako odaberemo točku $ T_1=(0,l)$ , pri čemu je $ l$ odsječak na $ y$ -osi, dobijemo poznatu jednadžbu

$\displaystyle % y=k\, x+l. $

Vektorsko-vektorski produkt     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Ravnina