×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Koordinatizacija pravca     Koordinatizacija     Koordinatizacija prostora


Koordinatizacija ravnine

U ravnini $ \rho$ koja se nalazi u prostoru $ \cal E$ prvo odaberemo točku $ O$ kao ishodište. Zatim odaberemo međusobno okomite pravce $ p$ i $ q$ koji leže u ravnini $ \rho$ i prolaze kroz točku $ O$ . Na pravcima $ p$ i $ q$ definiramo koordinatne sustave $ (O,\mathbf{i})$ i $ (O,\mathbf{j})$ , redom, pri čemu je

$\displaystyle %
\mathbf{i}=\overrightarrow{OI}, \qquad \mathbf{j}=\overrightarrow{OJ}, \qquad \vert\mathbf{i}\vert=\vert\mathbf{j}\vert=1.
$

Točke $ I$ i $ J$ su odabrane tako da točka $ I$ rotacijom oko točke $ O$ za kut $ \pi/2$ u pozitivnom smjeru, odnosno suprotno od kazaljke sata, prelazi u točku $ J$ . S ovim smo u ravnini $ \rho$ zadali desni pravokutni (ortogonalni) koordinatni sustav $ (O,\mathbf{i},\mathbf{j})$ , koji je prikazan na slici 3.6.

Slika 3.6: Koordinatizacija ravnine
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/koordr.eps,width=8.4cm}\end{center}\end{figure}

Brojevni pravac koji smo nanijeli na pravac $ p$ zove se apscisna os ili $ x$ -os, a brojevni pravac koji smo nanijeli na pravac $ q$ zove se ordinatna os ili $ y$ -os. Osi dijele ravninu $ \rho$ na četiri kvadranta i to na $ I.$ , $ II.$ , $ III.$ i $ IV.$ kvadrant (slika 3.6).

Neka točka $ T$ pripada ravnini $ \rho$ . Pravac kroz točku $ T$ , koji je paralelan s pravcem $ q$ , siječe pravac $ p$ u točki $ P$ . Točka $ P$ u koordinatnom sustavu $ (O,\mathbf{i})$ ima koordinatu $ x$ . Pravac kroz točku $ T$ koji je paralelan s pravcem $ p$ siječe pravac $ q$ u točki $ Q$ . Točka $ Q$ u koordinatnom sustavu $ (O,\mathbf{j})$ ima koordinatu $ y$ . $ x$ i $ y$ su koordinate točke $ T=(x,y)$ u sustavu $ (O,\mathbf{i},\mathbf{j})$ , odnosno $ x$ je apscisa, a $ y$ je ordinata točke $ T$ (slika 3.6).

Neka je $ \mathbf{a}=\overrightarrow{OT}$ radijus-vektor u ravnini $ \rho$ . Prema pravilu o zbrajanju vektora iz poglavlja 3.2 vrijedi (slika 3.6)

$\displaystyle %
\overrightarrow{OT}=x\, \overrightarrow{OI} + y\, \overrightarrow{OJ},
$

odnosno

$\displaystyle %
\mathbf{a}=x\, \mathbf{i}+y\, \mathbf{j}.
$

Brojevi $ x$ i $ y$ su skalarne komponente radijus-vektora $ \overrightarrow{OT}$ odnosno vektora $ \mathbf{a}$ . Radijus-vektori $ x\, \overrightarrow{OI}$ i $ y\, \overrightarrow{OJ}$ su vektorske komponente radijus-vektora $ \overrightarrow{OT}$ , a vektori $ x\, \mathbf{i}$ i $ y\, \mathbf{j}$ su vektorske komponente vektora $ \mathbf{a}$ .

Kako su skalarne komponente jednoznačno određene točkom $ T$ , za označavanje vektora koristimo skraćene zapise

$\displaystyle %
\mathbf{a}=\{x,y\}, \qquad
\mathbf{a}=\begin{bmatrix}x& y \end{bmatrix}, \qquad
\mathbf{a}=\begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix}.
$

Vidimo da vektor u ravnini možemo zapisati kao retčanu matricu dimenzije $ 1\times 2$ ili kao stupčanu matricu dimenzije $ 2\times 1$ . Zbrajanje vektora i množenje vektora skalarom stoga odgovara zbrajanju matrica i množenju matrica skalarom.

Primjer 3.1   Neka je

$\displaystyle %
\mathbf{a}=2\, \mathbf{i} - 3\, \mathbf{j}, \qquad
\mathbf{b}=\mathbf{i}+\mathbf{j}.
$

Tada je

$\displaystyle %
3\, (\mathbf{a}+\mathbf{b})=3\, (2\, \mathbf{i} - 3\, \mathbf{j}+\mathbf{i}+\mathbf{j})
=9\, \mathbf{i} -6\, \mathbf{j},
$

odnosno

$\displaystyle %
3\, (\mathbf{a}+\mathbf{b})=3\left( \begin{bmatrix}2\\ -3 \end{...
...egin{bmatrix}1\\ 1 \end{bmatrix}\right)
=\begin{bmatrix}9\\ -6 \end{bmatrix}.
$

Poglavlje ćemo završiti s dvije definicije: vektori koji leže u ravnini $ \rho$ su kolinearni ravnini $ \rho$ , a vektori su komplanarni ako imaju predstavnike koji su kolinearni jednoj ravnini. Na primjer, vektori $ \mathbf{i}$ , $ \mathbf{j}$ i $ \mathbf{a}=x\, \mathbf{i}+y\, \mathbf{j}$ su komplanarni za $ \forall x,y\in \mathbb{R}$ .


Koordinatizacija pravca     Koordinatizacija     Koordinatizacija prostora