U ovom poglavlju pokazat ćemo kako se pomoću matričnog računa mogu rješavati električne mreže. Zanimljivo ja da se u tom postupku koriste mnoga svojstva matrica i sustava jednadžbi koja smo opisali u prethodnim poglavljima. Stoga praćenje primjera nije jednostavno i zahtijeva odlično poznavanje prethodnih poglavlja.
Promotrimo mrežu prikazanu na slici 2.22.1.
Grane mreže su označene s brojevima od
do
, a čvorovi mreže
s brojevima od
do
. Grana
se sastoji od serijskog spoja
otpora
i naponskog izvora
, a kroz granu
teče struja
(vidi Sliku 2.3).
Čvor
ima napon (potencijal)
.
Naš zadatak je izračunati struje
ako znamo otpore
i
naponske izvore
.
Za rješavanje mreže koristimo dva zakona:
Ako struje koje ulaze u čvor označimo s predznakom
, a struje koje
izlaze iz čvora s predznakom
, tada prvi Kirchoffov zakon
primijenjen na čvorove
-
daje
Vidimo da se radi o homogenom sustavu linearnih jednadžbi koji ima četiri jednadžbe i sedam nepoznanica,
tada matrični zapis sustava glasi
Ako
-ti vodič ide od čvora
prema čvoru
, tada Ohmov zakon
daje
Dakle, imamo još jedan sustav linearnih jednadžbi koji glasi
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
Uz ove oznake gornji sustav možemo zapisati u matričnom obliku kao
Matrica
je dijagonalna, a njeni dijagonalni elementi
(otpori) su veći od nule pa je prema tome
regularna i vrijedi
Kada jednadžbu (2.11) pomnožimo s matricom
s lijeve strane, dobit ćemo novi ekvivalentan sustav
Radi lakšeg snalaženja uvedimo nove oznake,
Uz ove oznake jednadžba (2.13) daje sustav od četiri jednadžbe i četiri nepoznanice
Prema Kronecker-Cappelijevom teoremu sustav (2.15)
će imati jedinstveno rješenje
ako i samo ako je
.
Da je taj uvjet zaista ispunjen možemo zaključiti pomoću sljedećeg
važnog teorema koji navodimo bez dokaza.
Da bi primijenili teorem 2.11, uočimo da matricu
možemo
zapisati kao
gdje je
odnosno
Konačno, nakon što smo izračunali napone u čvorovima
,
struje kroz vodiče
lako izračunamo uvrštavanjem u jednadžbu
(2.12).
Za kraj, izračunajmo napone u čvorovima
i struje u vodičima
za električnu mrežu sa slike 2.2 za slučaj kada su
otpori svih vodiča jednaki
oma,
, a u vodičima
,
i
se nalaze naponski izvori od jednog volta,
. Uvrštavanje u relaciju (2.14)
daje
Rješenje sustava (2.15) daje napone u čvorovima
a uvrštavanje u jednadžbu (2.12) daje struje u vodičima
A=[1 1 1 0 0 0 -1; -1 0 0 -1 0 1 0; 0 -1 0 1 1 0 0; 0 0 -1 0 -1 -1 0] R=diag([10 10 10 10 10 10 10]) U=[1 0 0 1 1 0 0]' R1=inv(R) K=A*R1*A' L=-A*R1*U V=K\L I=R1*(A'*V+U)
U prvom retku programa matrica
je zadana po retcima,
pri čemu su retci odvojeni znakom ;.
U drugom retku programa naredba diag koristi se za kreiranje
dijagonalne matrice čiji su dijagonalni elementi jednaki elementima
zadanog vektora.
U trećem, petom i zadnjem retku znak ' označava
transponiranu matricu.
U četvrtom retku koristi se naredba inv koja daje inverznu
matricu. U sedmom retku znak
znači rješavanje sustava.
Izvedite gornji program u Matlabu. Zatim riješite električnu mrežu sa
slike 2.2 za neke druge vrijednosti otpora
i naponskih izvora
.
Zadajte neku drugu električnu mrežu i riješite je na isti način.
Pri rješavanju zadatka možete koristiti program
Octave On-line.