Rastav matrice na simetrični i antisimetrični dio

Svaka kvadratna matrica

se može napisati kao zbroj simetrične i antisimetrične matrice. Pokažite da su te matrice dane s

$\displaystyle A_1=\frac{A+A^T}{2}, \quad A_2=\frac{A-A^T}{2}.$

Odredite

ako je

$\displaystyle A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}.$

(2.3)

Rješenje. Pretpostavimo da se matrica može napisati kao zbroj

$\displaystyle A=A_1+A_2$

(2.4)

gdje je

$\displaystyle A_1^T$	$\displaystyle =A_1,$ odnosno je simetrična matrica i
$\displaystyle A_2^T$	$\displaystyle =-A_2,$ odnosno je antisimetrična matrica $\displaystyle .$

Transponiranjem jednakosti (2.4) slijedi

$\displaystyle A^T = A_1^T+A_2^T = A_1-A_2.$

(2.5)

Zbrajanjem i oduzimanjem jednakosti (2.4) i (2.5) dobivamo redom jednakosti

$\displaystyle A+A^T$	$\displaystyle = 2A_1,$
$\displaystyle A-A^T$	$\displaystyle = 2A_2,$

odakle je

$\displaystyle A_1=\frac{A+A^T}{2}, \quad A_2=\frac{A-A^T}{2}.$

Provjerimo sada da je matrica

uistinu simetrična, a

anti-simetrična. Vrijedi

$\displaystyle A_1^T$	$\displaystyle = \left(\frac{A+A^T}{2}\right)^T = \frac{A^T+A}{2}=A_1,$
$\displaystyle A_2^T$	$\displaystyle = \left(\frac{A-A^T}{2}\right)^T = \frac{A^T-A}{2}= -A_2.$

Za zadanu matricu je

$\displaystyle A^T=\begin{bmatrix}1 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

pa njen rastav na simetrični i anti-simetrični dio čine matrice

$\displaystyle A_1$	$\displaystyle = \frac{1}{2}\left(\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 2 \\ 1 & -... ...ac{1}{2} \\ 3 & 3 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix},$
$\displaystyle A_2$	$\displaystyle = \frac{1}{2}\left(\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 2 \\ 1 & -... ...c{1}{2} \\ 1 & 0 & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & 0 \end{bmatrix}.$