×   HOME
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika1
Jednadžba s kvadratnim matricama     LINEARNA ALGEBRA     Rastav matrice na simetrični


Rješavanje matrične jednadžbe invertiranjem

Riješite matričnu jednadžbu

$\displaystyle B(AX-I)^{-1}C=I$

gdje je

$\displaystyle A=\begin{bmatrix}1 & 2\\ 3 & 2 \\ 2 & 1\end{bmatrix}, \quad B=\be... ...atrix}, \quad C=\begin{bmatrix}1 & 2 & 0\\ 2 & 1 & -3\\ 0 & 2 & 3\end{bmatrix}.$    

Rješenje. Kako su matrice $ B$ i $ C$ kvadratne i regularne (provjerite regularnost računajući determinante), zadanu jednadžbu možemo pomnožiti slijeva s $ B^{-1}$ i zdesna s $ C^{-1}$ . Tada dobivamo

$\displaystyle B^{-1} B\cdot(AX-I)^{-1}\cdot C C^{-1}$ $\displaystyle =B^{-1} \cdot I\cdot C^{-1},$    
$\displaystyle I\cdot(AX-I)^{-1}\cdot I$ $\displaystyle =B^{-1} \cdot I\cdot C^{-1},$    
$\displaystyle (AX-I)^{-1}$ $\displaystyle =B^{-1} C^{-1}.$    

Budući da je $ B^{-1}C^{-1}=(CB)^{-1}$ (vidi [*] [M1, poglavlje 2.8]), slijedi

$\displaystyle (AX-I)^{-1} = (CB)^{-1}.$    

Invertiranjem lijeve i desne strane sada dobivamo jednadžbu

$\displaystyle AX-I = CB,$    

odnosno

$\displaystyle AX = CB+I.$

Izračunajmo sada matricu $ CB+I$ . Vrijedi

$\displaystyle CB+I$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & -3\\ 0 & 2 & 3\end{bmatrix}... ... -4\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$    
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}0 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1\\ 2 & 1 & -2\end{bmatrix}... ...\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\ 3 & 2 & -1\\ 2 & 1 & -1\end{bmatrix}.$    

Budući da je $ A$ matrica tipa $ 3\times 2$ i matrica $ CB+I$ tipa $ 3\times 3$ , tražena matrica $ X$ mora biti tipa $ 2\times 3$ , pa je zapišimo u obliku

$\displaystyle X=\begin{bmatrix}x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix}.$    

Sada jednadžba $ AX=CB+I$ glasi

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 2\\ 3 & 2\\ 2 & 1\end{bmatrix}\cdot \begin{bma... ...end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\ 3 & 2 & -1\\ 2 & 1 & -1\end{bmatrix},$    

odnosno

$\displaystyle \begin{bmatrix} x_1+2x_2 & y_1+2y_2 & z_1+2z_2 \\ 3x_1+2x_2 & 3y... ...end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\ 3 & 2 & -1\\ 2 & 1 & -1\end{bmatrix}.$

Izjednačavanjem odgovarajućih elemenata matrica dobivamo sljedeće jednadžbe:

$\displaystyle x_1+2x_2$ $\displaystyle =1,$ $\displaystyle y_1+2y_2$ $\displaystyle =2,$ $\displaystyle z_1+2z_2$ $\displaystyle =1,$    
$\displaystyle 3x_1+2x_2$ $\displaystyle = 3,$ $\displaystyle 3y_1+2y_2$ $\displaystyle =2,$ $\displaystyle 3z_1+2z_2$ $\displaystyle =-1,$    
$\displaystyle 2x_1+x_2$ $\displaystyle =2,$ $\displaystyle 2y_1+y_2,$ $\displaystyle =1,$ $\displaystyle 2z_1+z_2$ $\displaystyle = -1.$    

Promotrimo prvo jednadžbe

$\displaystyle x_1+2x_2$ $\displaystyle =1,$    
$\displaystyle 3x_1+2x_2$ $\displaystyle = 3,$    
$\displaystyle 2x_1+x_2$ $\displaystyle =2,$    

koje jedine sadrže nepoznanice $ x_1$ i $ x_2$ . Oduzimanjem prve od druge odmah dobivamo da je $ x_1=1$ , a uvrštavanjem u treću da je $ x_2=0$ . Dobiveni $ x_1$ i $ x_2$ zadovoljavaju sve tri jednadžbe pa su to uistinu rješenja. Na isti način riješimo sustav jednadžbi koje jedine sadrže nepoznanice $ y_1$ i $ y_2$ odakle dobivamo da je $ y_1=0$ i $ y_2=1$ , te preostali sustav jednadžbi koji sadrži nepoznanice $ z_1$ i $ z_2$ i daje $ z_1=-1$ i $ z_2=1$ . Dakle, rješenje je matrica

$\displaystyle X=\begin{bmatrix}1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}.$    

Jednadžba s kvadratnim matricama     LINEARNA ALGEBRA     Rastav matrice na simetrični