×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću     OSNOVE MATEMATIKE     Dokazivanje nejednakosti pomoću matematičke


Dokazivanje jednakosti matematičkom indukcijom

Dokažite matematičkom indukcijom da za svaki prirodan broj $ n$ vrijedi

  $\displaystyle 1+a+a^2+\ldots +a^n = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}, \quad a\neq 1,$ (1.5)
  $\displaystyle 1+2^2+3^2+4^2+\cdots n^2=\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$ (1.6)

Rješenje. Neka je $ M$ skup svih prirodnih brojeva $ n$ za koje vrijedi jednakost (1.5). Želimo dokazati da je $ M=\mathbb{N}$ . Jednakost očigledno vrijedi za $ n=1$ pa je time zadovoljena baza indukcije. Sada pretpostavimo da jednakost (1.5) vrijedi za sve $ k=1,2,\ldots ,n$ . Trebamo pokazati da tada vrijedi i za $ k=n+1$ . Iskoristimo pretpostavku da jednakost (1.5) vrijedi za $ k=n$ . Tada je

$\displaystyle 1+a+a^2+\ldots +a^n+a^{n+1} = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}+a^{n+1} =\frac{a^{n+2}-1}{a-1},$ (1.7)

što pokazuje da jednakost (1.5) vrijedi za $ k=n+1$ . Time je ispunjen korak indukcije. Budući je $ n$ proizvoljan, princip matematičke indukcije P4 iz [*] [M1, definicija 1.13] povlači da je $ M=\mathbb{N}$ , odnosno da jednakost (1.5) vrijedi za sve $ n\in \mathbb{N}$ .

Napomenimo da jednakost (1.5) možemo dokazati i direktno, odnosno bez korištenja matematičke indukcije. Naime, za svaki $ a\neq 1$ vrijedi

$\displaystyle 1+a+a^2+\ldots +a^n$ $\displaystyle = (1+a+a^2+\ldots +a^n)\cdot \frac{a-1}{a-1}$    
  $\displaystyle =\frac{a+a^2+a^3+\cdots a^n+a^{n+1} -1-a-a^2-\cdots -a^n}{a-1}$    
  $\displaystyle =\frac{a^{n+1}-1}{a-1}.$    

Jednakost (1.6) dokazujemo slično: uvrštavanje daje

  $\displaystyle 1+2^2+3^2+4^2+\cdots n^2+(n+1)^2= \displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2$    
  $\displaystyle \qquad =\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}=\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}$    
  $\displaystyle \qquad =\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},$    

čime smo dokazali korak indukcije.


Nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću     OSNOVE MATEMATIKE     Dokazivanje nejednakosti pomoću matematičke