×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 OSNOVE MATEMATIKE     OSNOVE MATEMATIKE     Dokazivanje jednakosti matematičkom indukcijom

Nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću

Riješite sljedeće nejednadžbe:

a)

$\vert x-1\vert < \vert x+1\vert$ ,

b)

$\vert x^2-2x\vert\leq 3-x-x^2$ .

Rješenje.

a)

Budući su obje strane zadane nejednadžbe pozitivne, smijemo kvadrirati. Time dobivamo sljedeću nejednadžbu

$$(x-1)^2<(x+1)^2,$$

odnosno

$$x^2-2x+1<x^2+2x+1,$$

odakle slijedi

$$4x>0,$$

pa nejednadžbu zadovoljava svaki pozitivni realni broj. Dakle, rješenje je skup

$$\langle 0, \infty\rangle.$$

b)

Desna strana nejednadžbe može biti i pozitivna i negativna pa ne smijemo kvadrirati. Stoga promatrajmo dva slučaja ovisno o predznaku izraza koji se nalazi unutar apsolutnih zagrada:

Slučaj 1. Pretpostavimo da vrijedi

$$x^2-2x\geq 0.$$ (1.1)

Tada je

$$\vert x^2-2x\vert=x^2-2x,$$

pa u ovom slučaju zadana nejednadžba glasi

$$x^2-2x\leq 3-x-x^2,$$

odnosno

$$2x^2-x-3\leq 0.$$ (1.2)

Slika 1.1: Slike parabola $y=x^2-2x$ i $y=2x^2-x-3$ .

U ovom slučaju rješenje je presjek rješenja kvadratnih nejednadžbi (1.1) i (1.2). Iz slike parabole $y=x^2-2x$ slijedi da je rješenje nejednadžbe (1.1) skup $\langle -\infty,0]\cup[2,+\infty\rangle$ , a iz slike parabole $y=2x^2-x-3$ (vidi sliku 1.1) slijedi da je rješenje nejednadžbe (1.2) segment $[-1,\frac{3}{2}]$ pa je konačno rješenje u prvom slučaju presjek dobivenih skupova, odnosno segment $[-1,0]$ .

Slučaj 2. Pretpostavimo sada da vrijedi

$$x^2-2x< 0.$$ (1.3)

Tada je

$$\vert x^2-2x\vert=-(x^2-2x),$$

pa u ovom slučaju zadana nejednadžba glasi

$$-(x^2-2x)\leq 3-x-x^2,$$

odnosno

$$x\leq 1.$$ (1.4)

Budući je rješenje nejednadžbe (1.3) interval $\langle0,2\rangle$ (vidi sliku 1.1), a nejednadžbe (1.4) skup $\langle -\infty,1]$ , konačno rješenje u drugom slučaju je njihov presjek $\langle 0,1]$ .

Ukupno rješenje je unija rješenja u prvom i drugom slučaju, odnosno

$$[-1,0]\cup\langle 0,1]=[-1,1].$$

OSNOVE MATEMATIKE     OSNOVE MATEMATIKE     Dokazivanje jednakosti matematičkom indukcijom