×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Homogeni sustav linearnih jednadžbi     LINEARNA ALGEBRA     Homogeni sustav jednadžbi ovisan


Sustav linearnih jednadžbi ovisan o parametru

Riješite sljedeće sustave u ovisnosti o realnom parametru:
a)
\begin{equation*}\begin{aligned}[t]
\quad x&\quad +&y&\quad -&z&\quad =&1, \\
2...
...z&\quad =&3, \\
x&\quad +&ay&\quad +&3z&\quad =&2.
\end{aligned}\end{equation*}

b)
\begin{equation*}\begin{aligned}[t]
\lambda x&\quad +&y&\quad +&z&\quad =&1, \\ ...
...\
x&\quad +&y&\quad +&\lambda z&\quad =&\lambda^2.
\end{aligned}\end{equation*}

Rješenje.

a)
Gaussovu metodu eliminacije iz [*] [M1, poglavlje 2.4] primijenimo na proširenu matricu sustava, pri čemu je $ a$ proizvoljan realan parametar. Dobivamo

$\displaystyle \begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix}$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 1 & -1 &\vline& 1 \\ 2 & 3 & a &\vline& 3 \\...
...ne& 1 \end{bmatrix} \begin{matrix}\\ \\ \scriptstyle{R_3-(a-1)R_2} \end{matrix}$    
  $\displaystyle \sim\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 &\vline& 1 \\ 0 & 1 & a+2 &\vline& 1 \\ 0 & 0 & (a+3)(2-a) &\vline& 2-a \end{bmatrix}.$    

Ovisno o tome je li element na mjestu $ (3,3)$ jednak ili različit od nule, razlikujemo tri slučaja:

Slučaj 1. Promotrimo prvo slučaj kada je $ (a+3)(2-a)\neq0$ , odnosno kada $ a\notin\{-3,2\}$ . Tada možemo podijeliti treći redak s $ a-2\neq 0$ pa vrijedi

$\displaystyle \begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix}\sim\begin{bmatri...
...line& 1 \\
0 & 1 & a+2 &\vline& 1 \\
0 & 0 & a+3 &\vline& 1
\end{bmatrix}.$

Budući je i $ a+3\neq0$ , iz trećeg retka slijedi

$\displaystyle (a+3)\,z=1 \Rightarrow z=\frac{1}{a+3}.$

Uvrštavanjem u jednadžbu koja slijedi iz drugog retka, dobivamo

$\displaystyle y+(a+2)\,z=1 \Rightarrow y=1-\frac{a+2}{a+3} \Rightarrow y=\frac{1}{a+3}.$

Sada iz prvog retka imamo

$\displaystyle x+y-z=1 \Rightarrow x=1-\frac{1}{a+3}+\frac{1}{a+3} \Rightarrow x=1.$

U ovom slučaju sustav ima jedinstveno rješenje koje glasi

$\displaystyle \begin{bmatrix}
x \\ y \\ z
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
1 \\ 1/(a+3) \\ 1/(a+3)
\end{bmatrix}.$

Slučaj 2. Ako je $ a=-3$ , iz trećeg retka slijedi jednadžba $ 0=5$ pa sustav nema rješenja.

Slučaj 3. Za $ a=2$ je

$\displaystyle \begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix}\sim\begin{bmatri...
... &\vline& 1 \\
0 & 1 & 4 &\vline& 1 \\
0 & 0 & 0 &\vline& 0
\end{bmatrix}.$

Sada iz drugog retka slijedi

$\displaystyle y+4z=1 \Rightarrow y=1-4z,$

a iz prvog je

$\displaystyle x+y-z=1 \Rightarrow x=1-(1-4z)+z \Rightarrow x=5z.$

Ako stavimo $ z=\lambda$ , gdje je $ \lambda\in\mathbb{R}$ proizvoljan parametar, rješenje glasi

$\displaystyle \begin{bmatrix}
x \\ y \\ z
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
5\lam...
...ix} +\lambda \begin{bmatrix}
5 \\ -4 \\ 1
\end{bmatrix}, \lambda\in\mathbb{R}.$

b)
Sustav rješavamo metodom Gaussove eliminacije opisanom u [*] [M1, poglavlje 2.4]. Vrijedi

$\displaystyle \begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
...
...a & 1 &\vline& \lambda \\
1 & 1 & \lambda &\vline& \lambda^2
\end{bmatrix}.$

Da bi smanjili broj redaka koje treba pomnožiti s parametrom $ \lambda$ i tako pojednostavnili rješavanje sustava, zamijenimo prvi i treći redak. Tada je

$\displaystyle \begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix}$ $\displaystyle \sim\begin{bmatrix}1 & 1 & \lambda &\vline& \lambda^2 \\ 1 & \lam...
...in{matrix}\\ \scriptstyle{R_2-R_1}\\ \scriptstyle{R_3-\lambda R_1} \end{matrix}$    
  $\displaystyle \sim\begin{bmatrix}1 & 1 & \lambda &\vline& \lambda^2 \\ 0 & \lam...
...-\lambda^3 \end{bmatrix} \begin{matrix}\\ \\ \scriptstyle{R_3+R_2} \end{matrix}$    
  $\displaystyle \sim\begin{bmatrix}1 & 1 & \lambda &\vline& \lambda^2 \\ 0 & \lam...
...\lambda)+(1-\lambda^2) &\vline& (1-\lambda^3)+(\lambda-\lambda^2) \end{bmatrix}$    
  $\displaystyle =\begin{bmatrix}1 & 1 & \lambda &\vline& \lambda^2 \\ 0 & \lambda...
...0 & 0 & (1-\lambda)(\lambda+2) &\vline& (1-\lambda)(1+\lambda)^2 \end{bmatrix}.$    

Zadani sustav jednadžbi je ekvivalentan dobivenom gornje trokutastom sustavu

$\displaystyle x + y + \lambda z$ $\displaystyle = \lambda^2,$    
$\displaystyle (\lambda-1)y + (1-\lambda)z$ $\displaystyle = \lambda(1-\lambda),$    
$\displaystyle (1-\lambda)(\lambda+2) z$ $\displaystyle = (1-\lambda)(1+\lambda)^2.$    

Promotrimo posebno sljedeća tri slučaja ovisna o tome je li izraz na mjestu $ (3,3)$ jednak ili različit od nule:

Slučaj 1. Ako je $ (1-\lambda)(\lambda+2)\neq0$ , odnosno $ \lambda \notin\{ 1,-2\}$ , iz posljednje jednadžbe slijedi

$\displaystyle z = \frac{(1-\lambda)(1+\lambda)^2}{(1-\lambda)(\lambda+2)},$    

pa sustav ima jedinstveno rješenje

$\displaystyle x=-\frac{\lambda+1}{\lambda+2}, \qquad y=\frac{1}{\lambda+2}, \qquad z=\frac{(1+\lambda)^2}{\lambda+2}.$    

Slučaj 2. Za $ \lambda=1$ sustav se svodi na jednadžbu $ x+y+z=1$ iz koje dobivamo $ x=1-y-z$ , odnosno dvoparametarsko rješenje gdje su $ y$ i $ z$ parametri. Označimo li ih s $ \alpha$ i $ \beta$ , rješenje zapisujemo u obliku

$\displaystyle x=1-\alpha-\beta, \qquad y=\alpha, \qquad z=\beta, \qquad \alpha,\beta\in \mathbb{R}.$    

Slučaj 3. Za $ \lambda = -2$ imamo sustav

$\displaystyle x+y-2z$ $\displaystyle = 4,$    
$\displaystyle -3y+3z$ $\displaystyle = -6,$    
$\displaystyle 0 \cdot z$ $\displaystyle = 3,$    

koji zbog zadnje jednakosti $ 0=3$ očito nema rješenja.


Homogeni sustav linearnih jednadžbi     LINEARNA ALGEBRA     Homogeni sustav jednadžbi ovisan