Sustav linearnih jednadžbi s jedinstvenim rješenjem

Gaussovom metodom eliminacije (vidi

[M1, poglavlje 2.4]) dobivamo:

$\displaystyle \begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix}$	$\displaystyle =\begin{bmatrix}1&2&3&\vline&3 \\ -2&0&1&\vline&-2 \\ 1&2&-1&\vli... ...vline&4 \end{bmatrix} \begin{matrix}\\ \\ \\ \scriptstyle{R_4-R_2} \end{matrix}$
	$\displaystyle \sim\begin{bmatrix}1&2&3&\vline&3 \\ 0&4&7&\vline&4 \\ 0&0&-4&\vl... ...3&\vline&3 \\ 0&4&7&\vline&4 \\ 0&0&-4&\vline&0\\ 0&0&0&\vline&0 \end{bmatrix}.$

Četvrti redak glasi

, što je točno. Iz trećeg retka slijedi

, iz drugog

$\displaystyle 4y+7z=4 \quad\Rightarrow\quad 4y=4 \quad\Rightarrow\quad y=1,$

a i prvog

$\displaystyle x+2y+3z=3 \quad\Rightarrow\quad x+2=3 \quad\Rightarrow\quad x=1.$

Dakle, sustav ima jedinstveno rješenje

$\displaystyle \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}.$

Gaussovom metodom eliminacije (vidi

[M1, poglavlje 2.4]) dobivamo:

$\displaystyle \begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix}$	$\displaystyle = \begin{bmatrix}2 & 3 & 11 & 5 &\vline& 2 \\ 1 & 1 & 5 & 2 &\vli... ...\begin{matrix}\\ \\ \scriptstyle{R_3-2R_2}\\ \scriptstyle{R_4-R_2} \end{matrix}$
	$\displaystyle \sim\begin{bmatrix}2 & 3 & 11 & 5 &\vline& 2 \\ 0 & -1 & -1 & -1 ... ... 0 \\ 0 & 0 & -6 & -1 &\vline& -5 \\ 0 & 0 & 0 & 14 &\vline& -14 \end{bmatrix}.$

Iz četvrtog retka slijedi

$\displaystyle 14x_4=-14 \quad\Rightarrow\quad x_4=-1,$

iz trećeg

$\displaystyle -6x_3-x_4=-5 \quad\Rightarrow\quad -6x_3+1=-5 \quad\Rightarrow\quad x_3=1,$

iz drugog

$\displaystyle -x_2-x_3-x_4=0 \quad\Rightarrow\quad -x_2-1+1=0 \quad\Rightarrow\quad x_2=0,$

te iz prvog

$\displaystyle 2x_1+3x_2+11x_3+5x_4=2 \quad\Rightarrow\quad 2x_1+0+11+5\cdot(-1)=2 \quad\Rightarrow\quad x_1=-2.$

Rješenje zadanog sustava je jedinstveno i glasi

$\displaystyle \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}.$