×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Matrični polinom     LINEARNA ALGEBRA     Potenciranje matrica

Komutativnost matrica

a)

Zadane su matrice

$$A=\displaystyle \begin{bmatrix} a & a \\ a-1 & a \end{bmatrix}\q... ...xtrm{ i }\quad B=\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 6a & 1 \end{bmatrix}.$$

Odredite sve vrijednosti realnog parametra $a$ za koje su matrice $A$ i $B$ komutativne?

b)

Odredite sve matrice koje komutiraju s matricom

$$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Rješenje.

a)

Vrijedi

$$A B =\begin{bmatrix}a & a \\ a-1 & a \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix... ...\\ 6a & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+6a^2 & 0\\ a-1+6a^2 & 1 \end{bmatrix},$$

$$B A =\begin{bmatrix}1 & -1 \\ 6a & 1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix... ...\ a-1 & a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ a-1+6a^2 & a+6a^2 \end{bmatrix}.$$

Matrice $A$ i $B$ su komutativne ako vrijedi $A B = B A$ . Izjednačavanjem odgovarajućih elemenata slijedi da realni parametar $a$ treba zadovoljavati kvadratnu jednadžbu

$$6a^2+a-1=0.$$

Dakle, rješenja su

$$a_{1}=-\frac{1}{2}\quad\textrm{ i }\quad a_{2}=\frac{1}{3}.$$

b)

Označimo matricu $B$ s

$$B=\begin{bmatrix}x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{bmatrix}.$$

Potrebno je odrediti sve koeficijente $x_i$ , $y_i$ , $z_i$ za koje vrijedi $A B = B A$ . Izjednačavanjem matrica

$$A B =\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bm... ...1-y_2 & z_1-z_2 \\ x_2-x_3 & y_2-y_3 & z_2-z_3 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{bmatrix}$$

i

$$B A = \begin{bmatrix}x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & ... ...y_1+z_1 \\ x_2 & -x_2+y_2 & -y_2+z_2 \\ x_3 & -x_3+y_3 & -y_3+z_3 \end{bmatrix}$$

slijedi da elementi matrice $B$ moraju zadovoljavati sustav jednadžbi

$$x_1-x_2 = x_1, y_1-y_2 = -x_1+y_1, z_1-z_2 = -y_1+z_1,$$

$$x_2-x_3 = x_2, y_2-y_3 = -x_2+y_2, z_2-z_3 = -y_2+z_2,$$

$$x_3 = x_3, y_3 = -x_3+y_3, z_3 = -y_3+z_3,$$

odakle slijedi da je

$$x_2 =0, y_2 = x_1, z_2 = y_1,$$

$$x_3 =0, y_3 = x_2, z_3 = y_2,$$

$$x_3 =0, y_3 = 0.$$

Zaključujemo da koeficijenti $x_i$ , $y_i$ , $z_i$ zadovoljavaju relacije

$$x_1=y_2=z_3, \qquad y_1=z_2, \qquad x_2=x_3=0.$$

Ako uvedemo oznake $x_1=\alpha$ , $y_1=\beta$ i $z_1=\gamma$ , onda se matrica $B$ može zapisati u obliku

$$B=\begin{bmatrix}\alpha & \beta & \gamma \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & 0 & \alpha \end{bmatrix}$$

gdje su $\alpha$ , $\beta$ i $\gamma$ realni brojevi. Provjerimo na kraju da svaka matrica oblika $B$ komutira s matricom $A$ :

$$A B =\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatri... ...lpha & \gamma-\beta \\ 0 & \alpha & \beta-\alpha\\ 0 & 0 & \alpha\end{bmatrix},$$

$$B A =\begin{bmatrix}\alpha & \beta & \gamma \\ 0 & \alpha & \beta \\ ... ...lpha & \gamma-\beta \\ 0 & \alpha & \beta-\alpha\\ 0 & 0 & \alpha\end{bmatrix}.$$

Uistinu, matrice $AB$ i $BA$ su jednake.

Matrični polinom     LINEARNA ALGEBRA     Potenciranje matrica