×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Taylorov razvoj racionalne funkcije     NIZOVI I REDOVI     MacLaurinov razvoj logaritamske funkcije

MacLaurinov razvoj racionalne funkcije

Razvijte u MacLaurinov red funkciju $f$ zadanu s

$$f(x)=\frac{1+x}{(1-x)^3}$$

te odredite područje konvergencije dobivenog reda i izračunajte sumu reda

$$1-\frac{4}{3}+\frac{9}{9}-\frac{16}{27}+\frac{25}{81}-\cdots.$$

Rješenje. Zadanu funkciju možemo zapisati u obliku

$$f(x)=\frac{1+x}{(1-x)^3}=\frac{2+(x-1)}{-(x-1)^3}=-\frac{2}{(x-1)^3}-\frac{1}{(x-1)^2}=-2\,(x-1)^{-3}-(x-1)^{-2}.$$

Slijedi

$$f'(x) =(-2)(-3)(x-1)^{-4}-(-2)(x-1)^{-3},$$

$$f''(x) =(-2)(-3)(-4)(x-1)^{-5}-(-2)(-3)(x-1)^{-4},$$

$$f'''(x) =(-2)(-3)(-4)(-5)(x-1)^{-6}-(-2)(-3)(-4)(x-1)^{-5},$$

odakle zaključujemo

$$f^{(n)}(x) =(-2)(-3)\cdots [-(n+2)] (x-1)^{-(n+3)}-(-2)\cdots [-(n+1)](x-1)^{-(n+2)}$$

$$=(-1)^{n+1}(n+2)!\, (x-1)^{-(n+3)}-(-1)^{n}(n+1)!\,(x-1)^{-(n+2)},$$

pa je

$$f^{(n)}(0) =(-1)^{n+1}(n+2)! (-1)^{n+3}-(-1)^{n}(n+1)!(-1)^{n+2}$$

$$=(n+2)(n+1)n!-(n+1)n!$$

$$=[(n+2)-1](n+1) n!$$

$$=(n+1)^2n!.$$

Prema [M1, teorem 6.18], MacLaurinov razvoj funkcije $f$ glasi

$$f(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)^2 x^n,$$

odnosno

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^2 x^n.$$ (6.11)

Budući je

$$\lim_{n\to \infty}\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert=\lim_{... ...\frac{n+2}{n+1}\right)^2 \cdot \left\vert x\right\vert=\left\vert x\right\vert,$$

D'Alembertov kriterij povlači da dobiveni red konvergira za $x\in\langle -1,1\rangle$ . U točkama $x_1=-1$ i $x_2=1$ red glasi

$$\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^2,$$

a taj red divergira jer ne zadovoljava nužan uvjet konvergencije. Dakle, područje konvergencije je $\langle -1,1\rangle$ .

Za traženu sumu vrijedi

$$1-\frac{4}{3}+\frac{9}{9}-\frac{16}{27}+\frac{25}{81}-\cdots = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(n+1)^2}{3^n}.$$

Iz formule $\eqref{razvoj2}$ za $x=-\frac{1}{3}$ slijedi

$$f\left(-\frac{1}{3} \right)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(n+1)^2}{3^n},$$

što zajedno s

$$f\left(-\frac{1}{3} \right)=\frac{1+\left(-\frac{1}{3}\right)}{\l... ...\right) \right]^3}=\frac{\frac{2}{3}}{\left(\frac{4}{3} \right)^3}=\frac{9}{32}$$

daje

$$1-\frac{4}{3}+\frac{9}{9}-\frac{16}{27}+\frac{25}{81}-\cdots = \frac{9}{32}.$$

Taylorov razvoj racionalne funkcije     NIZOVI I REDOVI     MacLaurinov razvoj logaritamske funkcije