×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Geometrijski ekstrem IV     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tok funkcije II


Tok funkcije I

Ispitajte tok i skicirajte graf funkcije $ f$ zadane s

$\displaystyle f(x)=x^2+\frac{2}{x}.$    

Rješenje. Tok funkcije ispitujemo prema postupku opisanim u [*] [M1, poglavlje 5.9].

  1. Područje definicije

    Područje definicije zadane funkcije ne uključuje nulu, odnosno $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R} \setminus \{0 \}$ .

  2. Parnost

    Vrijedi

    $\displaystyle f(-x)=\left(-x\right)^2+ \frac{2}{-x}=x^2-\frac{2}{x}.$    

    Budući je $ f(-x)\neq f(x)$ i $ f(-x)\neq -f(x)$ , promatrana funkcija nije ni parna ni neparna.

  3. Periodičnost

    Funkcija nije periodična jer je elementarna i ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.

  4. Nul-točke

    Da bismo odredili nul-točke funkcije riješimo jednadžbu $ f(x)=0$ . Vrijedi

      $\displaystyle x^2+\frac{2}{x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^3+2}{x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x^3+2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\sqrt[3]{-2}$    
      $\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad x=-\sqrt[3]{2},$    

    pa je $ x=-\sqrt[3]{2}$ nul-točka zadane funkcije.

  5. Asimptote
    a)
    Vertikalne asimptote

    Točka $ x_1=0$ je jedini konačni rub domene i vrijedi

    $\displaystyle \lim_{x \to 0-0}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x \to 0+0}f(x)=+\infty,$    

    pa je pravac $ x=0$ jedina vertikalna asimptota funkcije $ f$ .

    b)
    Horizontalne asimptote

    U lijevom i desnom rubu domene vrijedi

    $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty.$    

    Dakle, funkcija $ f$ nema horizontalnu asimptotu ni na lijevoj ni na desnoj strani.

    c)
    Kose asimptote

    Računajući limese

    $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3+2}{x^2}=\pm \infty,$    

    zaključujemo da funkcija $ f$ nema ni kose asimptote.

  6. Ekstremi

    Prva derivacija glasi

    $\displaystyle f^\prime (x)=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{2 x^3-2}{x^2}=2\cdot\frac{x^3-1}{x^2}.$    

    Područje definicije derivacije jednako je $ \mathcal{D}_{f^\prime}=\mathbb{R} \setminus \{0\}$ . Dakle, $ x_1=0$ je kritična točka funkcije $ f$ . Rješavanjem $ f'(x)=0$ vidimo da je stacionarna točka funkcije (druga kritična točka) $ x_2=1$ . Dovoljne uvjete ekstrema provjerimo pomoću prve derivacije. Vrijedi:
    a)
    Za $ x\in \left\langle-\infty,0\right\rangle$ je $ f^\prime (x)<0$ pa je funkcija $ f$ strogo padajuća na intervalu $ \langle-\infty,0\rangle$ .
    b)
    Za $ x\in \langle0,1\rangle$ je također $ f^\prime (x)<0$ i funkcija $ f$ je strogo padajuća na tom intervalu.
    c)
    Za $ x\in \langle1,+\infty \rangle$ je $ f^\prime (x)>0$ pa je funkcija $ f$ strogo rastuća na intervalu $ \langle1,+\infty \rangle$ .
    Dakle, zadana funkcija ima lokalni minimum u točki $ x_2=1$ .

  7. Intervali monotonosti

    Intervale monotonosti smo odredili u prethodnom koraku: funkcija je strogo padajuća na intervalima $ \langle-\infty,0\rangle$ i $ \langle0,1\rangle$ , a strogo rastuća na intervalu $ \langle1,+\infty \rangle$ .

  8. Intervali zakrivljenosti

    Druga derivacija glasi

    $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=2+\frac{4}{x^3}=\frac{2x^3+4}{x^3}=2\cdot\frac{x^3+2}{x^3}.$    

    Iz predznaka druge derivacije, prema [*] [M1, teorem 5.15], slijedi da je funkcija $ f$ konkavna na intervalu $ \langle-\sqrt[3]{2},0\rangle$ i konveksna na $ \langle-\infty,-\sqrt[3]{2} \rangle \cup \langle0,+\infty \rangle$ .

  9. Točke infleksije

    Rješenje jednadžbe $ f^{\prime\prime}(x)=0$ je točka $ x_3=-\sqrt[3]{2}$ . Budući je

    $\displaystyle f^{\prime\prime\prime}(x)=-\frac{12}{x^4},$

    slijedi $ f^{\prime\prime\prime}\left(-\sqrt[3]{2}\right) \neq 0$ pa funkcija $ f$ ima točku infleksiju u $ x_3=-\sqrt[3]{2}$ .

  10. Graf funkcije

    Graf funkcije je prikazan na slici 5.5.

Slika 5.5: Graf funkcije $ \displaystyle f(x)=x^2+\frac {2}{x}$ .
\begin{figure}
% latex2html id marker 15633
\begin{center}
\epsfig{file=derivacije/zad521.eps, width=8cm}\end{center}\end{figure}


Geometrijski ekstrem IV     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tok funkcije II